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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2469
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. August, 2003 - 18:13: | 
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Hi allerseits,
Ein Körper, der von 12 Rhomben begrenzt wird ,
das Rhombendodekaeder, beschäftigt uns in der
Vierecksaufgabe 120.
Man erhält das Rhombendodekaeder der Kantenlänge a
aus einem Würfel der Kantenlänge w, indem man auf die
sechs Seitenflächen des Würfels sechs gerade Pyramiden
aufsetzt, deren Höhen mit der halben Kantenlänge ½ * w
einer Würfelkante übereinstimmen.
Man berechne das Volumen V und die Oberfläche F
dieses Körpers, ausgedrückt durch die Kantenlänge a.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 846
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. August, 2003 - 22:35: |
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Hi,
nach einem erfolgreichen Fussballspiel endlich mal wieder eine Aufgabe die ich tout de suite einsehen konnte!
Wenn ich mich nicht verechnet habe:
V = ( 16 * a ^ 3 ) / Ö27
F = Ö128 * a ^ 2
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2472
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. August, 2003 - 09:53: |
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Hi Ferdi,
Deine Resultate sind richtig!
Ich werde eine Herleitung postwendend ins Board stellen.
MfG
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2473
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. August, 2003 - 10:00: |
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Hi allerseits
Lösung der Vierecksaufgabe 120.
Nach Pythagoras gilt dann für a und w die Relation:
a^2 =( ½ * w ) ^2 + ( ½ * w* wurzel (2) )^2, also
a^2 = ¾ * w ^ 2 oder a = ½ *wurzel(3) * w, also :
w = 2 * a / wurzel(3)......................................... ...................(1)
Da die Pyramidenseitenflächen mit den Würfelseitenflächen
je den Winkel 45° bilden, liegen die beiden an einer
Würfelkante zusammenstoßenden Dreiecke
(Seitenflächen zweier benachbarter Pyramiden)
in einer gemeinsamen Ebene und bilden zusammen
einen Rhombus.
Anzahl e der Ecken, Anzahl k der Kanten, Flächenzahl f
e = 8+6 =14 , k =12 +12 = 24, f = 12
(griechisch : dodeka zwölf)
Es gilt auch hier: e-k+f = 2.
Volumen V und Oberfläche F , zunächst ausgedrückt durch
die Würfelkante w
Das Volumen setzt sich zusammen aus dem Würfelvolumen V
und dem Gasamtvolumen von sechs aufgesetzten Pyramiden
V = w^3 + 6* 1/3 * w ^ 2 * w/2 = 2 * w ^ 3
Ersetzt man darin w gemäss der Gleichung (1)
durch a, so erhält man die gesuchte Volumenformel:
V = 16/9 sqrt(3) a^3
F setzt sich aus den Flächen von 24 gleichschenkligen
Dreiecken zusammen.
Höhe eines solchen Dreiecks: ½ * w* wurzel(2) ,Basis w,
mithin:
F = 24 * w^2 / 4 * wurzel(2) = 6 * w^2 * wurzel (2) oder
nach (1):
F = 8 * a ^ 2 * wurzel(2).
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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