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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2469 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 22. August, 2003 - 18:13: |
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Hi allerseits, Ein Körper, der von 12 Rhomben begrenzt wird , das Rhombendodekaeder, beschäftigt uns in der Vierecksaufgabe 120. Man erhält das Rhombendodekaeder der Kantenlänge a aus einem Würfel der Kantenlänge w, indem man auf die sechs Seitenflächen des Würfels sechs gerade Pyramiden aufsetzt, deren Höhen mit der halben Kantenlänge ½ * w einer Würfelkante übereinstimmen. Man berechne das Volumen V und die Oberfläche F dieses Körpers, ausgedrückt durch die Kantenlänge a. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 846 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 22. August, 2003 - 22:35: |
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Hi, nach einem erfolgreichen Fussballspiel endlich mal wieder eine Aufgabe die ich tout de suite einsehen konnte! Wenn ich mich nicht verechnet habe: V = ( 16 * a ^ 3 ) / Ö27 F = Ö128 * a ^ 2 mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2472 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 23. August, 2003 - 09:53: |
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Hi Ferdi, Deine Resultate sind richtig! Ich werde eine Herleitung postwendend ins Board stellen. MfG H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2473 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 23. August, 2003 - 10:00: |
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Hi allerseits Lösung der Vierecksaufgabe 120. Nach Pythagoras gilt dann für a und w die Relation: a^2 =( ½ * w ) ^2 + ( ½ * w* wurzel (2) )^2, also a^2 = ¾ * w ^ 2 oder a = ½ *wurzel(3) * w, also : w = 2 * a / wurzel(3)......................................... ...................(1) Da die Pyramidenseitenflächen mit den Würfelseitenflächen je den Winkel 45° bilden, liegen die beiden an einer Würfelkante zusammenstoßenden Dreiecke (Seitenflächen zweier benachbarter Pyramiden) in einer gemeinsamen Ebene und bilden zusammen einen Rhombus. Anzahl e der Ecken, Anzahl k der Kanten, Flächenzahl f e = 8+6 =14 , k =12 +12 = 24, f = 12 (griechisch : dodeka zwölf) Es gilt auch hier: e-k+f = 2. Volumen V und Oberfläche F , zunächst ausgedrückt durch die Würfelkante w Das Volumen setzt sich zusammen aus dem Würfelvolumen V und dem Gasamtvolumen von sechs aufgesetzten Pyramiden V = w^3 + 6* 1/3 * w ^ 2 * w/2 = 2 * w ^ 3 Ersetzt man darin w gemäss der Gleichung (1) durch a, so erhält man die gesuchte Volumenformel: V = 16/9 sqrt(3) a^3 F setzt sich aus den Flächen von 24 gleichschenkligen Dreiecken zusammen. Höhe eines solchen Dreiecks: ½ * w* wurzel(2) ,Basis w, mithin: F = 24 * w^2 / 4 * wurzel(2) = 6 * w^2 * wurzel (2) oder nach (1): F = 8 * a ^ 2 * wurzel(2). °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath.
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