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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2474
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. August, 2003 - 10:13: | 
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Hi allerseits,
Auch die Vierecksaufgabe 121 ist stereometrischer Herkunft
und ein Bijou dazu; sie lautet:
Die Grundfläche einer Pyramide sei ein Parallelogramm.
Legt man durch eine Grundkante eine Ebene, welche das
Volumen der Pyramide halbiert, so teilt die Schnittebene die
zwei Gegenseitenkanten nach dem goldenen Schnitt, bravo!
Anmerkung
Man beachte die sehr allgemeine Formulierung der Aufgabe
Lösungshinweise kommen im Laufe der Zeit.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2478
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. August, 2003 - 18:13: |
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Hi allerseits,
Hinweis zur Lösung der Vierecksaufgabe 121.
Der Einfachheit halber nehme man eine gerade
quadratische Pyramide mit der Grundfläche
ABCD und der Spitze S; a sei die Länge einer
Grundkante, h die Höhe .
Die Schnittebene geht durch die Grundkante BC
und schneidet die Seitenkanten AS und DS in den
Punkten U und V.
Die Strecke UV = x ist parallel zur Grundfläche
und habe von ihr den Abstand z.
Drücke x durch a, h und z aus (AH-Erlebnis!)
Das Volumen V* des Teilkörpers mit den Ecken
ABCD UV ist halb so gross wie dasjenige der
Pyramide S ABCD.
Berechne V* mit Hilfe der Prismatoidformel,
welche lautet:
V=H / 6 ( G + 4 M + D )
H ist die Höhe des Prismatoids,
G die Grundfläche, D die dazu parallele Deckfläche ,
M die Fläche des Mittetschnitts
(in halber Höhe,parallel zu Grundfläche).
CD ist die „Deckfläche“ des Prismatoids und hat den
Flächeninhalt null, hihi.
Ziel: stelle eine Gleichung auf mit z als Unbekannte,
noch besser:
bestimme t = h – z , und es liegt die Teilung nach
dem goldenen Schnitt offen da.
Ich habe aber nichts dagegen, wenn die Aufgabe mit
klassischer analytischer Geometrie des Raumes
gelöst wird.
Mit freundlichen Grüßen
H.R. Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2481
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. August, 2003 - 07:13: |
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Hi allerseits,
Ich bin etwas erstaunt, dass sich niemand dieser Aufgabe
angenommen hat.
Daher stelle ich meinen eigenen Lösungsweg ins Board
Der Einfachheit halber nehmen wir eine gerade
quadratische Pyramide mit der Grundfläche
ABCD und der Spitze S; a sei die Länge einer
Grundkante, h die Höhe .
Die Schnittebene geht durch die Grundkante BC
und schneidet die Seitenkanten AS und DS in den
Punkten U und V.
Die Strecke UV = x ist parallel zur Grundfläche
und habe von ihr den Abstand z.
Wir drücken x durch a, h und z aus (AH-Erlebnis!)
Man beachte:
x ist eine lineare Funktion der Variablen z: x = x(z)
Anfangs- und Endbedingung:
x(0) = a , x(h) = 0 , daher:
x = a / h * ( h – z )
Der Mittelschnitt ist ein Rechteck mit den Seiten ½ a
und ½ [ a + x] (Mittellinie eines Trapezes.
Fläche M des Mittelschnitts
(Schnitt in halber Höhe ½ z des Prismatoids,
parallel zur Grundfläche):
M = ¼ a*(a+x)
Wir berechnen nun mit Hilfe der Prismatoidformel
V = H / 6 ( G + 4 M + D )
das Volumen V* des Teilkörpers mit den Ecken
ABCD UV :
Die Daten sind:
H = z , G = a ^ 2 , D = 0 (Messers Schneide),
M =¼ a*(a+x) , mithin
V* = z / 6 [ a ^2 + a ( a + x )] = z / 6 [ 2 a ^ 2 + a x ]
Dieses Volumen ist halb so gross wie dasjenige der
Pyramide S ABCD.
Dies führt auf die Gleichung
z / 6 [ 2 a ^2 + a x ] = ½ * 1/3 a^2 h, vereinfacht:
z ( 2 a + x ) – a h = 0; nun setzen wir für x =
a / h * ( h – z ) ein; es kommt die quadratische Gleichung
in z:
z ^ 2 – 3 h z + h ^ 2 = 0 ;
ersetze z durch t + h; es entsteht die quadratische
Gleichung in t :
t ^ 2 + h t - h ^ 2 = 0 mit der einzigen tauglichen Lösung
t = ½ ( sqrt(5) – 1 )
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Diese vertikale Teilung nach dem goldenen Schnitt
überträgt sich dank der Strahlensätze auf die Seitenkanten
SA und SD:
U teilt SA und V teilt SD nach dem goldenen Schnitt;
SU und SV sind die grösseren Abschnitte.
Es gibt auch Lösungsmethoden, die ohne die Prismatoidformel
auskommen. Man suche danach!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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