| Autor |
Beitrag |
    
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2352
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 12:13: | 
|
Hi allerseits,
In der Dreiecksaufgabe 35 erscheint ein Satz,
der bei der projektiven Behandlung der
Kegelschnitte eine Rolle spielt; gemeint ist
der Satz von Pascal (Blaise Pascal,1623-1662).
Dieser Satz lautet: die Schnittpunkte der Gegenseiten
eines einem Kegelschnitt (Ellipse, Parabel, ,Hyperbel)
einbeschriebenen Sechsecks liegen auf einer Geraden,
der so genannten Pascal-Geraden.
Aufgabe 35
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit seinem Umkreis k.
Fasse k als Kegelschnitt auf.
Zähle jeden Punkt doppelt, sodass dem
Kreis das Sechseck mit den Ecken AABBCC
einbeschrieben ist.
Auffassung: die Seiten AA, BB, CC sind die
Kreistangenten mit A, B, C als Berührungspunkte.
Man zeichne die zugehörige Pascal-Gerade!
Hinweise
Sei X der Schnittpunkt der Gegenseiten
AA (Tangente in A) und BC,
Y der Schnittpunkt der Gegenseiten AB
und CC (Tangente in C),
Z der Schnittpunkt der Gegenseiten
BB (Tangente in B) und CA.
Zeige: X, Y, Z liegen auf der Pascal-Geraden p;
konstruiere p.
Man findet die Gegenseitenpaare aus dem Schema
AABBCCA; diese drei Paare sind:
AA-BC, AB-CC, BB-CA.
Gehe im Schema schrittweise von links nach rechts,
bilde Punktepaare und lasse beim Fortschreiten jedes Mal
einen Buchstaben der Sequenz weg!
Viel Vergnügen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Anmerkung
Diese kleine Aufgabe möchte ich zum heutigen
Bundesfeiertag der Schweiz,1.August 2003,
unserem Bundespräsidenten,
Herrn Pascal Couchepin,
widmen.
Er kann daraus erkennen, dass auch ganz kleine
geistige Produkte aus der CH ins Ausland exportiert
werden und dort auch ankommen, im wahrsten Sinn
des Wortes.
Mit freundlichen Grüßen
Hans Rudolf Moser, ch
www.zahlreich.de
|
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 813
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 15:53: |
|
Hi,
ein frohen Nationalfeiertag! Eine schöne Aufgabe:
ich möchte Megamaths Usus übernehmen und eine Zusatzfrage stellen:
Man kann sich leicht überzeugen, das es 60(!!) verschiedene Pascalsche Geraden gibt. (Hinweis: Kombinatorik)
Zeige:
Die 60 Pascalschen Geraden, die man mit sechs Punkten eines Kegelschnittes bilden kann, schneiden einander je zu vieren!
mfg
PS: Mir ist es bis jetzt noch nicht gelungen eine der beiden Aufgaben zu lösen! Sehr anspruchsvoll, meiner Meinung nach.
@megamath: Kann man in dieser Runde auch den Satz des Brianchon behandeln?
mfg aus der General Weber Kaserne |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2354
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 16:49: |
|
Hi Ferdi,
Ich erwidere die Grüsse !
Der Brianchonsche Satz kommt in
der nächdsten Nummer dran und ist in Vorbereitung.
Ich will aber eine Ruhepause einschalten
Deine Zusatzfrage muss noch zuerst verdaut werden.
Beste Grüsse in die Kaserne.
Ihr scheint nicht vollständig von der Umwelt abgeschlossen zu sein...
Wenn wir die Hyperbeln behandeln werden,in ferner Zukunft,werde ich als Anwendung die
artilleristische Schallmessung im Sinne der
Ortung mit Gelände-Mikrofonen und Oszillografen
erklären.
MfG
Hans Rudolf
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2387
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 16:13: |
|
Hi allerseits,
Bemerkungen zum Satz von Pascal.
1.
Wenn sechs Kreispunkte gegeben sind, so
gibt es z = ½ * 5! = 60 verschiedene
Sechsecke
Eine Umnummerier derselben sechs
Punkte kann zu einer andern Pascalgeraden
führen. Diese Tatsache hat schon Ferdi erwähnt.
Bei unserem Beispiel spielt sie jedoch keine Rolle.
2.
Die eigentliche Bedeutung des Pascalschen Satzes,
zusammen mit seinem dualen Partner, dem Satz von
Brianchon,zeigt sich besonders bei der konstruktiven
Behandlung der Kegelschnitte.
Erwähnt seien ein paar typische Aufgaben aus dieser
Branche:
a)
Von einem Kegelschnitt (KS) kennt man fünf Punkte
P1, P2,…P5. Man konstruiere auf einer Geraden g , welche
durch P1 geht, den zweiten Schnittpunkt mit k.
b)
Von einem KS kennt man fünf Punkte P1, P2,…P5.
Man konstruiere die Tangente im Punkt P1.
c)
Von einer Parabel kennt man zwei Tangenten samt den
beiden Berührungspunkten. Man konstruiere die
Achsenrichtung der Parabel
3.
Der Sinn der Dreiecksaufgabe 35 ist der, den Blick für
den Ablauf der Konstruktion zu bekommen, auch für
den Fall, dass Ecken des Sechsecks zusammenfallen,
wie es hier der Fall ist.
Damit ist dieser Fall erledigt !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
|
|
