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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2352 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 12:13: |
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Hi allerseits, In der Dreiecksaufgabe 35 erscheint ein Satz, der bei der projektiven Behandlung der Kegelschnitte eine Rolle spielt; gemeint ist der Satz von Pascal (Blaise Pascal,1623-1662). Dieser Satz lautet: die Schnittpunkte der Gegenseiten eines einem Kegelschnitt (Ellipse, Parabel, ,Hyperbel) einbeschriebenen Sechsecks liegen auf einer Geraden, der so genannten Pascal-Geraden. Aufgabe 35 Gegeben ist ein Dreieck ABC mit seinem Umkreis k. Fasse k als Kegelschnitt auf. Zähle jeden Punkt doppelt, sodass dem Kreis das Sechseck mit den Ecken AABBCC einbeschrieben ist. Auffassung: die Seiten AA, BB, CC sind die Kreistangenten mit A, B, C als Berührungspunkte. Man zeichne die zugehörige Pascal-Gerade! Hinweise Sei X der Schnittpunkt der Gegenseiten AA (Tangente in A) und BC, Y der Schnittpunkt der Gegenseiten AB und CC (Tangente in C), Z der Schnittpunkt der Gegenseiten BB (Tangente in B) und CA. Zeige: X, Y, Z liegen auf der Pascal-Geraden p; konstruiere p. Man findet die Gegenseitenpaare aus dem Schema AABBCCA; diese drei Paare sind: AA-BC, AB-CC, BB-CA. Gehe im Schema schrittweise von links nach rechts, bilde Punktepaare und lasse beim Fortschreiten jedes Mal einen Buchstaben der Sequenz weg! Viel Vergnügen ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath Anmerkung Diese kleine Aufgabe möchte ich zum heutigen Bundesfeiertag der Schweiz,1.August 2003, unserem Bundespräsidenten, Herrn Pascal Couchepin, widmen. Er kann daraus erkennen, dass auch ganz kleine geistige Produkte aus der CH ins Ausland exportiert werden und dort auch ankommen, im wahrsten Sinn des Wortes. Mit freundlichen Grüßen Hans Rudolf Moser, ch www.zahlreich.de
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 813 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 15:53: |
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Hi, ein frohen Nationalfeiertag! Eine schöne Aufgabe: ich möchte Megamaths Usus übernehmen und eine Zusatzfrage stellen: Man kann sich leicht überzeugen, das es 60(!!) verschiedene Pascalsche Geraden gibt. (Hinweis: Kombinatorik) Zeige: Die 60 Pascalschen Geraden, die man mit sechs Punkten eines Kegelschnittes bilden kann, schneiden einander je zu vieren! mfg PS: Mir ist es bis jetzt noch nicht gelungen eine der beiden Aufgaben zu lösen! Sehr anspruchsvoll, meiner Meinung nach. @megamath: Kann man in dieser Runde auch den Satz des Brianchon behandeln? mfg aus der General Weber Kaserne |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2354 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 16:49: |
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Hi Ferdi, Ich erwidere die Grüsse ! Der Brianchonsche Satz kommt in der nächdsten Nummer dran und ist in Vorbereitung. Ich will aber eine Ruhepause einschalten Deine Zusatzfrage muss noch zuerst verdaut werden. Beste Grüsse in die Kaserne. Ihr scheint nicht vollständig von der Umwelt abgeschlossen zu sein... Wenn wir die Hyperbeln behandeln werden,in ferner Zukunft,werde ich als Anwendung die artilleristische Schallmessung im Sinne der Ortung mit Gelände-Mikrofonen und Oszillografen erklären. MfG Hans Rudolf
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2387 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 16:13: |
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Hi allerseits, Bemerkungen zum Satz von Pascal. 1. Wenn sechs Kreispunkte gegeben sind, so gibt es z = ½ * 5! = 60 verschiedene Sechsecke Eine Umnummerier derselben sechs Punkte kann zu einer andern Pascalgeraden führen. Diese Tatsache hat schon Ferdi erwähnt. Bei unserem Beispiel spielt sie jedoch keine Rolle. 2. Die eigentliche Bedeutung des Pascalschen Satzes, zusammen mit seinem dualen Partner, dem Satz von Brianchon,zeigt sich besonders bei der konstruktiven Behandlung der Kegelschnitte. Erwähnt seien ein paar typische Aufgaben aus dieser Branche: a) Von einem Kegelschnitt (KS) kennt man fünf Punkte P1, P2,…P5. Man konstruiere auf einer Geraden g , welche durch P1 geht, den zweiten Schnittpunkt mit k. b) Von einem KS kennt man fünf Punkte P1, P2,…P5. Man konstruiere die Tangente im Punkt P1. c) Von einer Parabel kennt man zwei Tangenten samt den beiden Berührungspunkten. Man konstruiere die Achsenrichtung der Parabel 3. Der Sinn der Dreiecksaufgabe 35 ist der, den Blick für den Ablauf der Konstruktion zu bekommen, auch für den Fall, dass Ecken des Sechsecks zusammenfallen, wie es hier der Fall ist. Damit ist dieser Fall erledigt ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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