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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2355 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 23:00: |
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Hi allerseits, In der Dreiecksaufgabe 36 erscheint ein Satz, der zum Satz von Pascal (Dreiecksaufgabe 35) dual ist; gemeint ist der Satz von Brianchon. Dieser Satz lautet: die Verbindungsgeraden der Gegenecken eines einem Kegelschnitt (Ellipse, Parabel, Hyperbel) umbeschriebenen Sechsecks gehen durch einen Punkt, den so genannten Brianchon Punkt Durch das Prinzip der Dualisierung als eine formale Übersetzun kann der eine Satz aus dem andern Wort für Wort gewonnen werden. Ersetze Punkt durch Gerade und umgekehrt, Berührungspunkt durch Tangente et vice – versa. Ersetze „verbinden“ durch „schneiden“ und umgekehrt, „liegen auf“ durch „gehen durch“ und umgekehrt. Eingeschrieben durch umgeschrieben et vice –versa usw., und Du bekommst aus dem einen Satz den dualen. Der Satz von Pascal und derjenige von Brianchon sind zueinander dual. Hätte Pascal von der Dualität gewusst, dann hätte er auch den Brianchonschen Satz simultan gefunden; in Tat und Wahrheit liegen zwischen den beiden Terminen der Entdeckung 167 Jahre: Pascal hat seinen Satz 1639 im Alter von 16 Jahren entdeckt. Brianchon (1783 - 1864) veröffentlichte seinen Satz 1806, also im Alter von 23 Jahren. Aufgabe 36 Gegeben ist ein Dreieck, Seiten a,b,c mit seinem Inkreis k. Fasse k als Kegelschnitt auf. Zähle jede Seite doppelt, sodass dem Kreis das Sechsseit mit den Seiten aabbcc umbeschrieben ist. Auffassung: die Schnittpunkte a mit a (aa), b mit b (bb), c mit c (cc) sind die Berührungspunkte dieser Geraden mit dem Kreis. Man zeichne den zugehörigen Brianchon-Punkt.! Hinweise Sei x die Verbindungsgerade der Gegenecken aa (Berührpunkt von a) und dem Schnittpunkt von b mit c. Sei y die Verbindungsgerade der Gegenecken Schnittpunkt von a mit b und c c (Berührpunkt von c). Sei z die Verbindungsgerade der Gegenecken bb(Berührpunkt von b) und dem Schnittpunkt von von c mit a. Zeige: x, y, z gehen durch den Brianchon-Punkt P; konstruiere P. Man findet die Gegeneckenpaare aus dem Schema aabbcca; diese drei Paare sind: aa-bc, ab-cc, bb-ca. Gehe im Schema schrittweise von links nach rechts, bilde Geradenpaare und lasse beim Fortschreiten jedes Mal einen Buchstaben der Sequenz weg! Viel Vergnügen ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2388 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 16:17: |
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Hi allerseits, Man dualisiere die Bemerkungen zur Aufgabe 35, und das Nötigste zur Dreiecksaufgabe 36 ist damit gesagt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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