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Dreiecksaufgabe 31: was ich schon imm...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Archiviert bis 08. August 2003 Archiviert bis Seite 19 » Dreiecksaufgabe 31: was ich schon immer über Dreieckswinkel wissen wollte I X « Zurück Vor »

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2348
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 09:00:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Die Aufgabe 31 bezieht sich auf eine Aussage am
allgemeinen Dreieck ABC mit landesüblichen
Bezeichnungen; F ist die Fläche des Dreiecks.

Beweise die Relation

ctg(alpha)+ctg(beta)+ctg (gamma) = (a^2+b^2+c^2) / (4 F)

MfG
H.R.Moser, megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2367
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 04. August, 2003 - 22:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Die Dreiecksaufgabe 31 ist für versierte Leute eher einfach,
besonders wenn meine Hilfen beachtet werden
Ihre Herkunft:
Die Aufgabe ist die Nr 2 (hihi) der schriftlichen Serie
der Eidgenössischen Maturitätsprüfungen in Zürich,
Frühjahr 1985, für den damals noch existierenden
Maturitätstypus C
(mathematisch-naturwissenschaftliche Richtung).
Sie gilt als leichte, einführende Aufgabe.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Michael Trautvetter (aktuar)
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Benutzername: aktuar

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 08-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 05. August, 2003 - 07:49:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

ich habe mich einmal kurz vor Beginn meiner eigentlichen Arbeit heute morgen an die Lösung der Dreiecksaufgabe 31 gemacht:

Kosinussätze am Dreieck:
a*2 = b*2 + c*2 - 2bccos(alpha)
b*2 = a*2 + c*2 - 2accos(beta)
c*2 = a*2 + b*2 - 2abcos(gamma)

Addition und Umstellung:
a*2 + b*2 + c*2 = 2(bccos(alpha) + accos(beta) + abcos(gamma)) (1)

Fläche des Dreiecks:
F = (ab/2)sin(gamma) (2)

Aus (1) und (2) folgt
(a*2 + b*2 + c*2)/(4F) = (bccos(alpha) + accos(beta) + abcos(gamma))/(absin(gamma))

Anwendung der Sinussätze c/b = sin(gamma)/sin(beta) und c/a = sin(gamma)/sin(alpha) ergibt dann

(a*2 + b*2 + c*2)/(4F) = cos(alpha)/sin(alpha) + cos(beta)/sin(beta) + cos(gamma)/sin(gamma) = cot(alpha) + cot(beta) + cot(gamma) q.e.d.

Viele Grüße

Trautvetter
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2368
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 05. August, 2003 - 08:24:   Beitrag drucken

Hi Michael,

Ich danke Dir,dass Du Dir die Mühe genommen hast, eine der Dreiecksaufgaben zu lösen.
Dein Lösungsweg führt schnell und direkt zum Ziel.

M-Aufgaben vor Arbeitsbeginn zu lösen,ist nach meiner Ansicht und wie Figura zeigt,
besser als jede Art Frühgymnastik.
Ich möchte Solches mit Nachdruck weiter
empfehlen !

MfG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2369
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 05. August, 2003 - 12:19:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Es mag interessieren, zu erfahren,
wie der spiritus rector, d.h. der
Aufgabensteller, die Aufgabe löst.

Hier kommt meine Variante der Lösung
der Dreiecksaufgabe 31als Kurzlösung:

Kosinussatz: cos (alpha) = (b^2+c^2-a^2) / (2 b c ) ,
analoge Formeln für cos(beta) und cos(gamma)
mittels zyklischer Vertauschung.

Flächensatz mit sinus:
F = ½ b c sin (alpha), daraus sin(alpha) = 2 F / (bc),
analoge Formeln mit sin(beta) und sin(gamma)
mittels zyklischer Vertauschung.

Einsetzen in die obige Formel für cos(alpha) ergibt
ctg (alpha) = cos(alpha)/sin(alpha) =
1 / (2 F) * [b^2 + c^2 + a^2], b c hat sich weggehoben,
analoge Formeln für ctg (beta) und ctg (gamma)
mittels zyklischer Vertauschung.

Addition der letzten Ctg-Relationen ergibt das vorausgesagte
Resultat, w.z.z.w.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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