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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2348 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 09:00: |
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Hi allerseits, Die Aufgabe 31 bezieht sich auf eine Aussage am allgemeinen Dreieck ABC mit landesüblichen Bezeichnungen; F ist die Fläche des Dreiecks. Beweise die Relation ctg(alpha)+ctg(beta)+ctg (gamma) = (a^2+b^2+c^2) / (4 F) MfG H.R.Moser, megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2367 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 04. August, 2003 - 22:13: |
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Hi allerseits Die Dreiecksaufgabe 31 ist für versierte Leute eher einfach, besonders wenn meine Hilfen beachtet werden Ihre Herkunft: Die Aufgabe ist die Nr 2 (hihi) der schriftlichen Serie der Eidgenössischen Maturitätsprüfungen in Zürich, Frühjahr 1985, für den damals noch existierenden Maturitätstypus C (mathematisch-naturwissenschaftliche Richtung). Sie gilt als leichte, einführende Aufgabe. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Michael Trautvetter (aktuar)
Neues Mitglied Benutzername: aktuar
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 08-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 05. August, 2003 - 07:49: |
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Hi allerseits, ich habe mich einmal kurz vor Beginn meiner eigentlichen Arbeit heute morgen an die Lösung der Dreiecksaufgabe 31 gemacht: Kosinussätze am Dreieck: a*2 = b*2 + c*2 - 2bccos(alpha) b*2 = a*2 + c*2 - 2accos(beta) c*2 = a*2 + b*2 - 2abcos(gamma) Addition und Umstellung: a*2 + b*2 + c*2 = 2(bccos(alpha) + accos(beta) + abcos(gamma)) (1) Fläche des Dreiecks: F = (ab/2)sin(gamma) (2) Aus (1) und (2) folgt (a*2 + b*2 + c*2)/(4F) = (bccos(alpha) + accos(beta) + abcos(gamma))/(absin(gamma)) Anwendung der Sinussätze c/b = sin(gamma)/sin(beta) und c/a = sin(gamma)/sin(alpha) ergibt dann (a*2 + b*2 + c*2)/(4F) = cos(alpha)/sin(alpha) + cos(beta)/sin(beta) + cos(gamma)/sin(gamma) = cot(alpha) + cot(beta) + cot(gamma) q.e.d. Viele Grüße Trautvetter |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2368 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 05. August, 2003 - 08:24: |
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Hi Michael, Ich danke Dir,dass Du Dir die Mühe genommen hast, eine der Dreiecksaufgaben zu lösen. Dein Lösungsweg führt schnell und direkt zum Ziel. M-Aufgaben vor Arbeitsbeginn zu lösen,ist nach meiner Ansicht und wie Figura zeigt, besser als jede Art Frühgymnastik. Ich möchte Solches mit Nachdruck weiter empfehlen ! MfG H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2369 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 05. August, 2003 - 12:19: |
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Hi allerseits, Es mag interessieren, zu erfahren, wie der spiritus rector, d.h. der Aufgabensteller, die Aufgabe löst. Hier kommt meine Variante der Lösung der Dreiecksaufgabe 31als Kurzlösung: Kosinussatz: cos (alpha) = (b^2+c^2-a^2) / (2 b c ) , analoge Formeln für cos(beta) und cos(gamma) mittels zyklischer Vertauschung. Flächensatz mit sinus: F = ½ b c sin (alpha), daraus sin(alpha) = 2 F / (bc), analoge Formeln mit sin(beta) und sin(gamma) mittels zyklischer Vertauschung. Einsetzen in die obige Formel für cos(alpha) ergibt ctg (alpha) = cos(alpha)/sin(alpha) = 1 / (2 F) * [b^2 + c^2 + a^2], b c hat sich weggehoben, analoge Formeln für ctg (beta) und ctg (gamma) mittels zyklischer Vertauschung. Addition der letzten Ctg-Relationen ergibt das vorausgesagte Resultat, w.z.z.w. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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