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KB 2: Berührungsaufgabe mit Kreisen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Sonstiges » Archiviert bis 30. Juni 2003 Archiviert bis Seite 27 » KB 2: Berührungsaufgabe mit Kreisen « Zurück Vor »

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2162
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 07:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Wie soll es weitergehen mit etwas anspruchsvolleren
Kreisaufgaben (KA)?
Ich habe einige vorbereitet und stelle sie hier in
den Schaukasten.
Bei Bedarf werde ich auch Lösungen dazu in
gebührendem Abstand erscheinen lassen.
Die Aufgaben werden fortlaufend nummeriert;
die soeben besprochene Aufgabe von Lisette möge
die Nr. 1 tragen.
Jetzt folgt Nr.2, bei der ich auch Daten aus Nr.1
verwendet habe.

KB Nr.2

Ein Kreis c geht durch den Punkt A(-5/8)
und berührt die Kreise
k1 : x ^ 2 + y ^ 2 – 6 x – 26 y + 153 = 0 und
k2 : x ^ 2 + y ^ 2 + 6 x + 8 y - 75 = 0
von aussen.
Ermittle c durch Konstruktion oder durch Berechnung.

Hinweis: bei der Konstruktion kann die Aufgabe auf
KB Nr.1 zurückgeführt werden.

Viel Vergnügen wünscht
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 742
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 12:08:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

dann lass uns mal loslegen:

Als einstieg habe ich mal die Kreise k1 bzw. k2 etwas Modifiziert.

K1:-(x-3)²+(y-13)²=25
K2:-(x+3)²+(y+4)²=100

Mit Anderen Worten:

der Mittelpunkt M1 von K1: M1(3|13)
Radius r1 von K1: r1=5

Der Mittelpunkt M2von K2: M2(-3|-4)
Der Radius r2 von K2: r=10

Das sind erstmal die Ergebnisse für eine vernünftige Rechnung notwendig sind.

Mehr später...

Gruß N.
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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 743
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 12:09:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

dann lass uns mal loslegen:

Als einstieg habe ich mal die Kreise k1 bzw. k2 etwas Modifiziert.

K1: (x-3)²+(y-13)²=25
K2: (x+3)²+(y+4)²=100

Mit Anderen Worten:

der Mittelpunkt M1 von K1: M1(3|13)
Radius r1 von K1: r1=5

Der Mittelpunkt M2von K2: M2(-3|-4)
Der Radius r2 von K2: r=10

Das sind erstmal die Ergebnisse für eine vernünftige Rechnung notwendig sind.

Mehr später...

Gruß N.
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 784
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 12:57:   Beitrag drucken

Hi Niels,

ich hoffe du bist nicht böse, wenn ich meine Ergebnisse zu erst gepostet habe, bin nämlich grade mit der mega Rechnung durch und hab einfach abgesendet ohne zu schauen ob vorher einer schon was geschriben hat, ich hoffe wir erhalten beide die selben Ergebnisse:

Es gibt wieder zwei Kreise, die in Frage kommen:

k1: M( -21 | 20 ) r=20
k2: M( [-351/131] | [12020/1441] ) r=[3380/1441]

mfg

(Beitrag nachträglich am 24., Juni. 2003 von tl198 editiert)
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2164
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 13:50:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

mega-Rechnung ,das ist echt cool bei diesen Temperaturen!*
Die Resultate stimmen.
Jetzt kannst Du ans Werk gehen
und dich an der Konstruktion versuchen.

MfG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2165
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 15:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Es folgt die Skizze meiner rechnerischen Lösung zur
Aufgabe KB Nr. 2
Als Ansatz für die Gleichung des gesuchten Kreises c,
Mittelpunkt M*, wähle ich die Form
x^2 + y ^2 + 2 a x + 2 b y + c = 0
Die Koeffizienten a und b hängen bekanntlich
so mit den Mittelpunktskoordinaten xM, yM zusammen:
xM = - a , yM = - b

Wir leiten drei Gleichungen für a, b ,c her:

I.
Der Kreis c geht durch A(-5/8),somit:
10 A - 16 B = C + 89……………………………………….(I)


II.
Die Potenzgerade p1 des gegebenen Kreises k1
und des gesuchten Kreises c ist eine gemeinsame
Tangente beider, berührt also insbesondere den Kreis k1.
Somit hat die Potenzgerade p1 von M(3/13)
den Abstand r = 5 (Radius von k1).

Umsetzung
Gleichung der Potenzgeraden p1
(Subtraktion der auf null gebrachten normierten
Kreisgleichungen, geordnet):
2 * (A + 3) x + 2 *( B + 13 ) y + C – 153 = 0
Abstandsbedingung mit Hesse, bruchfrei:

6 A + 26 B + C + 203 = 5 sqrt [4(A+3)^2+4(B+13)^2 ]……..(II)

III
Die Potenzgerade p2 des gegebenen Kreises k1^2
und des gesuchten Kreises c ist eine gemeinsame
Tangente beider, berührt also insbesondere den Kreis k2.
Somit hat die Potenzgerade p2 von M(-3/-4)
den Abstand r = 10 (Radius von k2).

Umsetzung
Gleichung der Potenzgeraden p2
(Subtraktion der auf null gebrachten normierten
Kreisgleichungen, geordnet):
2 * (A - 3) x + 2 *( B - 4 ) y + C + 75 = 0
Abstandsbedingung mit Hesse, bruchfrei:

-6 A - 8 B + C + 125 =10 sqrt [4(A-3)^2+4(B-4)^2 ]……..(III)
Nun eliminiert man der Reihe nach B und C und erhält nach
braver Rechnung die quadratische Gleichung für A:

131 A^2 – 3102 A + 7371 = 0
mit den Lösungen

A1 = 21, A2 = 351/131
etc.

Daten der Kreise

c1: M( -21 | 20 ) , r=20
c2: M( [-351/131] | [12020/1441] ) r=[3380/1441]

Mit freundlichen Grüßen

H.R.Moser,megamath

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2169
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Juni, 2003 - 09:10:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Es folgt eine Beschreibung der konstruktiven
Lösung der Aufgabe KB Nr.2.
Als Lösungsprinzip gelte:
wir führen die Aufgabe auf eine bereits gelöste Aufgabe,
auf die Aufgabe KB Nr.1, zurück.
Dazu benötigen wir einen Hilfssatz,
der so lautet:

Voraussetzung:
Ein Kreis c berühre zwei gegebene Kreise
k1(Mittelpunkt M1), k2 (Mittelpunkt M2)
von aussen in den Punkten T1 auf k1,T2 auf k2.
C und D sind die beiden inneren Kreisschnittpunkte
der Zentralen z = M1 M2 mit k1 und k2.

Behauptung:
Das Viereck C D T1 T2 ist ein Kreisviereck,
d.h. es besitzt einen Umkreis.

Der Beweis dieses Satzes ist nicht schwierig.
Er führt zum Ziel, wenn gezeigt wird, dass
gegenüberliegende Innenwinkel im Viereck
C D T1 T2 supplementär sind.

Wir nehmen im Sinne einer Analysis der Aufgabe an,
dass k1 und k2 die gegebenen Kreise in der Aufgabe
sind, während c den gesuchten Kreis darstellt;
auf c liegt somit der gegebene Punkt A.

Weitere Bezeichnungen:
C und D sind, wie gesagt, die beiden inneren
Schnittpunkte der Zentralen z = M1 M2 mit den
Kreisen k1 bzw. mit k2.
Die Gerade T1 T2 schneidet die Gerade z im äusseren
Ähnlichkeitspunkt Po der beiden Kreise.

Nun wenden wir für den Punkt Po und den Umkreis des
Sehnenvierecks C D T1 T2 den Sekantensatz an;
es entsteht die Gleichung
PoC * PoD = PoT1 * PoT2…………………………………..(1)
Verbindet man andrerseits den Punkt Po mit dem
Punkt A und bezeichnet den andern Schnittpunkt dieser
Geraden mit dem Kreis c als Punkt B,
so gilt, ebenfalls nach dem Sekantensatz:
PoA * PoB = PoT1 * PoT2………………………………… (2)

Aus (1) und (2) folgt:
PoC * PoD = PoA * PoB……………………………………..(3)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit dieser Gleichung lässt sich der Punkt B,
ein weiterer Punkt des gesuchten Kreises, konstruktiv
sehr einfach gewinnen.
Von den vier Strecken, die in der Gleichung (3)
als Faktoren auftreten, sind , ausser PoB, alle
bekannt. Damit findet man den zusätzlichen Punkt B
des gesuchten Kreises und schon ist die Aufgabe
KB Nr.2 auf die Aufgabe KB Nr.1 zurückgeführt,
was will man mehr?

Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2170
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Juni, 2003 - 09:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

In praxi wird man folgendermassen vorgehen:

1.
Ermittlung des äusseren Ähnlichkeitspunktes Po.
Zur Kontrolle: die Koordinaten von P0 sind:
xo = 9, yo = 30

2
Innere Schnittpunkte C,D der Zentralen z = M1 M2
mit k1 und k2 bestimmen.
Zur Kontrolle:
Gleichung der Zentralen z: y = 17/6 x + 9/2;
die Koordinaten der Punkte C und D sind:
xC = 3 – 6/13*wurzel(13) ~ 1.3359
yC =13 – 17/13*wurzel(13) ~ 8 , 2850

xD = - 3 + 12 /13*wurzel(13) ~ 0,32820
yD = - 4 + 34/13*wurzel(13) ~ 5,42990


3
Die drei Punkte A(-5/8) , C , D bestimmen den
Hilfskreis mm, dessen Mittelpunkt und Radius
schnell konstruiert sind.

4
Der zweite Schnittpunkt der Geraden Po A
mit dem Kreis mm ist B;
damit ist der Kreis c durch A und B sowie die
Berührungsbedingung bezüglich k1 (oder k2)
bestimmt und nach KB Nr.1 auch konstruierbar;
das ist eine alte Geschichte.

Zur Kontrolle
Die Gerade PoA hat die Gleichung
y = 11 / 7 x + 111 / 7


Viel Erfolg bei der Konstruktion!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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