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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2166
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Juni, 2003 - 08:14: | 
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Aufgabe KB Nr.3
In diesen Zusammenhang gehört auch die letzte
der 10 Berührungsaufgaben von Apollonius.
Sie lautet:
Man konstruiere einen Kreis, der drei gegebene
Kreise berührt.
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 744
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Juni, 2003 - 14:42: |
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Hi Megamth,
ist es richtig, das bei dieser Aufgabe Fallunterscheidungen notwendig sind?
Man muss doch únterscheiden, ob die Kreise alle gleichgroß oder unterschiedlich groß sind oder?
Wie funktioniert ein rechnerischer Ansatz?
Gruß N. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2167
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Juni, 2003 - 15:34: |
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Hi Niels,
Die Aufgabe soll allgemein gelöst werden ; insonderheit sind die Radien verschieden.
Eine rechnerische Lösung habe ich bereits skizziert
und die wesentlichen Gleichungen samt Resultat
hier publiziert.
MfG
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2168
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Juni, 2003 - 15:41: |
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Hi Niels,
Meine Bemerkungen von vorhin gelten für die Nr 2.
Aber auch bei Nr.3 sind die gegebenen Kreise mit verschiedenen Radien anzusetzen.
Eine Hilfe:
Die Aufgabe 3 lässt sich auf Nr 2 zurückführen.
Eine neue Berechnung zu erfinden,erübrigt sich dann !*
MfG
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2171
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Juni, 2003 - 09:16: |
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Hi allerseits,
Eine Bemerkung zu den Apolloniusaufgaben.
Apollonius von Perga (~ 210 a.Chr.natum) hat zuerst die
allgemeinste Berührungsaufgabe behandelt:
Wenn von Kreisen, Geraden und Punkten drei Stücke
gegeben sind, einen Kreis zu konstruieren, der durch
die gegebenen Punkte geht und die gegebenen Linien
(Geraden,Kreise) berührt.
Es sind 10 solche Aufgaben denkbar,
wobei die Nummerierung willkürlich ist:
1. ein Kreis, ein Punkt, eine Gerade.
2. Zwei Punkte und eine Gerade.
3. Zwei Punkte und ein Kreis.
4. Zwei Gerade und ein Punkt.
5. Zwei Gerade und ein Kreis.
6. Zwei Kreise und ein Punkt.
7. Zwei Kreise und eine Gerade.
8. Drei Punkte (Umkreis gesucht).
9. Drei Gerade (Inkreis gesucht).
10. Drei Kreise.
Anmerkung
Man beachte, dass sich bestimmte dieser Probleme
auf andere zurückführen lassen:
Aufgabe 6 auf 3 und Aufgabe 10 auf 3.
Dadurch wird 3 zu einer fundamentalen Aufgabe.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2172
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Juni, 2003 - 10:13: |
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Hi allerseits,
Lösung zu KB Nr.3
Analysis der Aufgabe
(anhand einer Skizze)
M1,M2, M3 seien die Mittelpunkte,
r1<r2<r3 die Radien der gegebenen Kreise.
M* sei der Mittelpunkt und r* der Radius
des gesuchten Kreises.
Mit M3 als Zentrum und dem Radius u = r3 - r1
legen wir einen Hilfskreis h1
mit M2 als Zentrum und dem Radius v = r2 - r1
legen wir einen Hilfskreis h2,
mit M* als Zentrum und dem Radius w = r* + r1
legen wir einen Hilfskreis h3.
Letzterer geht durch M1 und berührt die beiden
ersten Hilfskreise h1 und h2.
Damit ist die Aufgabe KB Nr.3 auf die Aufgabe
KB Nr.2 zurückgeführt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2173
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Juni, 2003 - 10:19: |
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Hallo allerseits,
Schlussbemerkung zu KB Nr. 3
Im Laufe der Zeit sind viele verschiedene
interessante Lösungsmethoden für diese
Standardaufgabe gefunden worden,
auch direkte.
Eine klassische Lösung stammt vom
Französischen Mathematiker Fouché (1892).
Er benützt so genannte Isogonalkreise, arbeitet
ebenfalls mit Potenzpunkten und der
Polarentheorie.
Auch stereometrische Lösungen wurden gefunden,
bei denen den gegebenen Kreisen Kegel zugeordnet
werden; gewisse Tangentialebenen dieser Kegel
spielen eine zentrale Rolle bei der Lösung.
Aus Platz –und Zeitgründen kann ich leider nicht
näher darauf eingehen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 745
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Juni, 2003 - 19:01: |
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Hallo Hans Rudolf,
vielen Dank für die Auflösung der Aufgabe!
Offentsichtlich war die Aufgabe ein wenig zu schwer für den Anfang. Aber natürlich wird diese Aufgabe samt Lösung ein Platz in Ferdi und mein Geometriebuch finden.
Vieleicht beglückst du uns weiter mit netten Aufgen zu diesem Thema; Ich sehe da noch eineige Berührungsaufgaben des Apollonius und vieleicht gibt es ja auch noch nette Aufgaben zum Thema "Kreisbüschel"?
mfg
Niels |
