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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2162 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 07:13: |
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Hi allerseits, Wie soll es weitergehen mit etwas anspruchsvolleren Kreisaufgaben (KA)? Ich habe einige vorbereitet und stelle sie hier in den Schaukasten. Bei Bedarf werde ich auch Lösungen dazu in gebührendem Abstand erscheinen lassen. Die Aufgaben werden fortlaufend nummeriert; die soeben besprochene Aufgabe von Lisette möge die Nr. 1 tragen. Jetzt folgt Nr.2, bei der ich auch Daten aus Nr.1 verwendet habe. KB Nr.2 Ein Kreis c geht durch den Punkt A(-5/8) und berührt die Kreise k1 : x ^ 2 + y ^ 2 – 6 x – 26 y + 153 = 0 und k2 : x ^ 2 + y ^ 2 + 6 x + 8 y - 75 = 0 von aussen. Ermittle c durch Konstruktion oder durch Berechnung. Hinweis: bei der Konstruktion kann die Aufgabe auf KB Nr.1 zurückgeführt werden. Viel Vergnügen wünscht H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 742 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 12:08: |
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Hi Megamath, dann lass uns mal loslegen: Als einstieg habe ich mal die Kreise k1 bzw. k2 etwas Modifiziert. K1x-3)²+(y-13)²=25 K2x+3)²+(y+4)²=100 Mit Anderen Worten: der Mittelpunkt M1 von K1: M1(3|13) Radius r1 von K1: r1=5 Der Mittelpunkt M2von K2: M2(-3|-4) Der Radius r2 von K2: r=10 Das sind erstmal die Ergebnisse für eine vernünftige Rechnung notwendig sind. Mehr später... Gruß N. |
Niels (niels2)
Senior Mitglied Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 743 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 12:09: |
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Hi Megamath, dann lass uns mal loslegen: Als einstieg habe ich mal die Kreise k1 bzw. k2 etwas Modifiziert. K1: (x-3)²+(y-13)²=25 K2: (x+3)²+(y+4)²=100 Mit Anderen Worten: der Mittelpunkt M1 von K1: M1(3|13) Radius r1 von K1: r1=5 Der Mittelpunkt M2von K2: M2(-3|-4) Der Radius r2 von K2: r=10 Das sind erstmal die Ergebnisse für eine vernünftige Rechnung notwendig sind. Mehr später... Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 784 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 12:57: |
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Hi Niels, ich hoffe du bist nicht böse, wenn ich meine Ergebnisse zu erst gepostet habe, bin nämlich grade mit der mega Rechnung durch und hab einfach abgesendet ohne zu schauen ob vorher einer schon was geschriben hat, ich hoffe wir erhalten beide die selben Ergebnisse: Es gibt wieder zwei Kreise, die in Frage kommen: k1: M( -21 | 20 ) r=20 k2: M( [-351/131] | [12020/1441] ) r=[3380/1441] mfg (Beitrag nachträglich am 24., Juni. 2003 von tl198 editiert) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2164 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 13:50: |
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Hi Ferdi, mega-Rechnung ,das ist echt cool bei diesen Temperaturen!* Die Resultate stimmen. Jetzt kannst Du ans Werk gehen und dich an der Konstruktion versuchen. MfG H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2165 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 15:13: |
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Hi allerseits, Es folgt die Skizze meiner rechnerischen Lösung zur Aufgabe KB Nr. 2 Als Ansatz für die Gleichung des gesuchten Kreises c, Mittelpunkt M*, wähle ich die Form x^2 + y ^2 + 2 a x + 2 b y + c = 0 Die Koeffizienten a und b hängen bekanntlich so mit den Mittelpunktskoordinaten xM, yM zusammen: xM = - a , yM = - b Wir leiten drei Gleichungen für a, b ,c her: I. Der Kreis c geht durch A(-5/8),somit: 10 A - 16 B = C + 89……………………………………….(I) II. Die Potenzgerade p1 des gegebenen Kreises k1 und des gesuchten Kreises c ist eine gemeinsame Tangente beider, berührt also insbesondere den Kreis k1. Somit hat die Potenzgerade p1 von M(3/13) den Abstand r = 5 (Radius von k1). Umsetzung Gleichung der Potenzgeraden p1 (Subtraktion der auf null gebrachten normierten Kreisgleichungen, geordnet): 2 * (A + 3) x + 2 *( B + 13 ) y + C – 153 = 0 Abstandsbedingung mit Hesse, bruchfrei: 6 A + 26 B + C + 203 = 5 sqrt [4(A+3)^2+4(B+13)^2 ]……..(II) III Die Potenzgerade p2 des gegebenen Kreises k1^2 und des gesuchten Kreises c ist eine gemeinsame Tangente beider, berührt also insbesondere den Kreis k2. Somit hat die Potenzgerade p2 von M(-3/-4) den Abstand r = 10 (Radius von k2). Umsetzung Gleichung der Potenzgeraden p2 (Subtraktion der auf null gebrachten normierten Kreisgleichungen, geordnet): 2 * (A - 3) x + 2 *( B - 4 ) y + C + 75 = 0 Abstandsbedingung mit Hesse, bruchfrei: -6 A - 8 B + C + 125 =10 sqrt [4(A-3)^2+4(B-4)^2 ]……..(III) Nun eliminiert man der Reihe nach B und C und erhält nach braver Rechnung die quadratische Gleichung für A: 131 A^2 – 3102 A + 7371 = 0 mit den Lösungen A1 = 21, A2 = 351/131 etc. Daten der Kreise c1: M( -21 | 20 ) , r=20 c2: M( [-351/131] | [12020/1441] ) r=[3380/1441] Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2169 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Juni, 2003 - 09:10: |
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Hi allerseits, Es folgt eine Beschreibung der konstruktiven Lösung der Aufgabe KB Nr.2. Als Lösungsprinzip gelte: wir führen die Aufgabe auf eine bereits gelöste Aufgabe, auf die Aufgabe KB Nr.1, zurück. Dazu benötigen wir einen Hilfssatz, der so lautet: Voraussetzung: Ein Kreis c berühre zwei gegebene Kreise k1(Mittelpunkt M1), k2 (Mittelpunkt M2) von aussen in den Punkten T1 auf k1,T2 auf k2. C und D sind die beiden inneren Kreisschnittpunkte der Zentralen z = M1 M2 mit k1 und k2. Behauptung: Das Viereck C D T1 T2 ist ein Kreisviereck, d.h. es besitzt einen Umkreis. Der Beweis dieses Satzes ist nicht schwierig. Er führt zum Ziel, wenn gezeigt wird, dass gegenüberliegende Innenwinkel im Viereck C D T1 T2 supplementär sind. Wir nehmen im Sinne einer Analysis der Aufgabe an, dass k1 und k2 die gegebenen Kreise in der Aufgabe sind, während c den gesuchten Kreis darstellt; auf c liegt somit der gegebene Punkt A. Weitere Bezeichnungen: C und D sind, wie gesagt, die beiden inneren Schnittpunkte der Zentralen z = M1 M2 mit den Kreisen k1 bzw. mit k2. Die Gerade T1 T2 schneidet die Gerade z im äusseren Ähnlichkeitspunkt Po der beiden Kreise. Nun wenden wir für den Punkt Po und den Umkreis des Sehnenvierecks C D T1 T2 den Sekantensatz an; es entsteht die Gleichung PoC * PoD = PoT1 * PoT2…………………………………..(1) Verbindet man andrerseits den Punkt Po mit dem Punkt A und bezeichnet den andern Schnittpunkt dieser Geraden mit dem Kreis c als Punkt B, so gilt, ebenfalls nach dem Sekantensatz: PoA * PoB = PoT1 * PoT2………………………………… (2) Aus (1) und (2) folgt: PoC * PoD = PoA * PoB……………………………………..(3) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit dieser Gleichung lässt sich der Punkt B, ein weiterer Punkt des gesuchten Kreises, konstruktiv sehr einfach gewinnen. Von den vier Strecken, die in der Gleichung (3) als Faktoren auftreten, sind , ausser PoB, alle bekannt. Damit findet man den zusätzlichen Punkt B des gesuchten Kreises und schon ist die Aufgabe KB Nr.2 auf die Aufgabe KB Nr.1 zurückgeführt, was will man mehr? Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2170 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Juni, 2003 - 09:13: |
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Hi allerseits, In praxi wird man folgendermassen vorgehen: 1. Ermittlung des äusseren Ähnlichkeitspunktes Po. Zur Kontrolle: die Koordinaten von P0 sind: xo = 9, yo = 30 2 Innere Schnittpunkte C,D der Zentralen z = M1 M2 mit k1 und k2 bestimmen. Zur Kontrolle: Gleichung der Zentralen z: y = 17/6 x + 9/2; die Koordinaten der Punkte C und D sind: xC = 3 – 6/13*wurzel(13) ~ 1.3359 yC =13 – 17/13*wurzel(13) ~ 8 , 2850 xD = - 3 + 12 /13*wurzel(13) ~ 0,32820 yD = - 4 + 34/13*wurzel(13) ~ 5,42990 3 Die drei Punkte A(-5/8) , C , D bestimmen den Hilfskreis mm, dessen Mittelpunkt und Radius schnell konstruiert sind. 4 Der zweite Schnittpunkt der Geraden Po A mit dem Kreis mm ist B; damit ist der Kreis c durch A und B sowie die Berührungsbedingung bezüglich k1 (oder k2) bestimmt und nach KB Nr.1 auch konstruierbar; das ist eine alte Geschichte. Zur Kontrolle Die Gerade PoA hat die Gleichung y = 11 / 7 x + 111 / 7 Viel Erfolg bei der Konstruktion! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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