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LF III :: Hyperbolisches Paraboloid

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2070
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 14:26:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Hier kommt sie, die Nr.3 der lockeren Folge!
Die Aufgabe schliesst ebenfalls an eine Frage
bezüglich der Schar aller Transversalen dreier
windschiefer Geraden an, die kürzlich in diesem
Forum (von evi) gestellt und von mir beantwortet
wurde.
Wir ändern die Daten etwas ab:
Die Gleichungen der Geraden a ,b, c lauten mit t
als Parameter so:
a: x = t ; y = 0 ; z = t
b: x = 1 – t ; y = 1 ; z = t .
c: x = 1 ; y = z = ½
Die Schar der Transversalen erzeugt diesmal
ein
hyperbolisches Paraboloid;
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
hihi..

Von dieser Fläche sind zu bestimmen:
a) eine parameterfreie Gleichung in x,y,z.
b) die Koordinaten des Sattelpunktes S.
c) Gleichung der Tangentialebene im
Punkt P(1/1/?) als Berührungspunkt.




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Ferdi Hoppen (tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 715
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 23:12:   Beitrag drucken

Hi,

megamath du hast es geschafft. Ich zerbreche mir schon den ganzen Abend den Kopf. Ich würde diese Aufgabe gerne noch am Wochenende bearbeiten, da ich am Montag in meinen wohlverdienten 1wöchigen Urlaub fahre, aber es gelingt mir nicht die Gleichung der Transversalen zu bestimmen! Ich habe zwar dein "Rezept" das du Evi vorschlägst angewandt, aber es führte nicht zum Erfolg. Am meisten Probleme dabei macht mir die Gerade c, sie stellt ja nur einen Punkt dar! Vielleicht gibt es hier noch einen Trick, da diese vier kleinen Buchstaben "hihi" darauf hindeuten, dass diese Sache einfacher ist als sie scheint...

Jetzt will ich mich erstmal hinlegen, das mir der Kopf nicht ganz zerbricht

mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2071
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 05:45:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Es tut mir sehr leid,dass bei meiner Angabe der
Geradengleichungen ein Tippfehler sich
eingeschlichen hat:
es muss rchtiig so heissen:
c: x = 1 - t ; y = 1/2 ; z = 1/2

Auf c habe ich den Punkt
C(u/0,5/0,5) ausgewählt mit u als Parameter !
Die Gleichung der Ebene (C,a) lautet dann:
x + (1- 2u) y - z = 0,
die Ebene (C,b):
x + (2 u - 1) y + z = 2u
bitte nachprüfen !

MfG
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 716
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 12:00:   Beitrag drucken

Hi,

ich hatte auch schon an meinen Fähigkeiten gezweifelt...

Ich erhalte nun als Flächengleichung:

2xy-x-y+z=0

mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2073
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 12:57:   Beitrag drucken

Bravo!
m.f.G.
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 718
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 18:13:   Beitrag drucken

Hi,

die Tangentialebene ergibt sich dann zu:

x+y+z=2

Kann ich den Sattelpunkt auch über nullsetzen des Gradienten errechnen, oder muss ich hier auch noch mit der Hesse-Matrix argumentieren? Ich hätte den Punkt x=y=z=0,5 anzubieten als Sattelpunkt.

mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2074
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 18:34:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

die Koordinaten des Sattelpunktes sind richtig !
Mit z = z(x,y) arbeiten !

MfG
H.R.Moser,megaamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 719
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 19:30:   Beitrag drucken

Alles klaro!!

Ich wünsche dann nächste Woche viel Spass hier mit den Aufgaben. Bin dann in einer Woche wieder dabei!

Mal ganz nebenbei: Kannst du mir vielleicht ein paar gute Geometriebücher empfehlen, oder ist es so wie elsa es sagte, das es keine guten mehr gibt?

mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2075
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 19. Mai, 2003 - 07:40:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Schlussbemerkung zu LF III
Bei der Verwendung des Mittelpunktsgleichungssystems,
das durch Nullsetzen des Vektors
grad [F(x,y,z)] entsteht, stellt sich ein Widerspruch ein,
d.h.: es gibt keinen Mittelpunkt. Dieses System lautet:
2 x – 1 = 0
2 y – 1 = 0
1 = 0 , voilà !

Die Theorie besagt:
Das Vorzeichen der Eigenwerte entscheidet darüber,
ob ein elliptisches oder ein hyperbolisches Paraboloid vorliegt.
Das charakteristische Polynom der quadratischen Form
mit L als Variable lautet:
- L^3 + L = 0.
Die Eigenwerte sind L1 = 1, L2 = - 1 , L3 = 0.
Da die Vorzeichen von L1 und L2 verschieden sind,
liegt ein hyperbolisches Paraboloid vor.

Eigenvektoren:
Zu L = L1 = 1: {1;1;0}
Zu L = L2 = -1: {-1;1;0}
Zu L = L3 = 0: {0;0;1}

Es ist reizvoll, die Situation mit den gegebenen
windschiefen Geraden a , b , c einerseits und
einigen Transversalen dieser Geraden andrerseits
in schiefer Parallelprojektion zu skizzieren
und zwar in einem (x,y,z)-System mit eingezeichnetem
Einheits -Würfel ,Ecken O(0/0/0),(1/0/0),(1/1/0),(0/1/0),
(0/0/1),(1/0/1),(1/1/1),(0/1/1).
Verwendet man ein Dutzend geeigneter Transversalen,
so kommt die Sattelfläche zum Vorschein!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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