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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2077 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Mai, 2003 - 06:13: |
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Hi allerseits, Hier kommt sie, die Nummer IV der lockeren Folge: Man lege durch die Schnittgerade der beiden Ebenen 3 x + 2 y - 12 = 0 und 2 y + 5 z – 12 = 0 die beiden Tangentialebenen an das Ellipsoid 3 x^2 + 4 y ^2 + 5 z ^2 = 48 . Welches sind die Koordinaten der Berührungspunkte? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser.megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 720 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. Mai, 2003 - 21:22: |
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Hi megamath, frisch aus dem Urlaub habe ich gesehen, das niemand diese Aufgabe bearbeitet hat! Leider ist es mir bis jetzt auch noch nicht gelungen, was wohl an meiner mangelnden Geometrieerfahrung liegt! Ich habe bis jetzt nur die Gleichung der Schnittgerden berechnen können, sie lautet: x=10r , y=6-15r , z=6r Mein Freund der Gradient führte mich nicht zum Ziel, hier grad(F)={6x , 8y , 10z}. Auch eine Methode von dir mit Ebenenbüscheln führte nicht zum Erfolg, diese funktioniert nur bei Kugeln... Oder muss man hier mit Polaren arbeiten? Liege ich richtig mit der Annahme, dass die Tangetialebenen die Schnittgerade enthalten? Kannst du ein paar Tipps geben, wie man dieses Rätsel löst? mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2079 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Mai, 2003 - 08:02: |
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Hi Ferdi Ich gebe Dir Lösungshinweise: Die Aufgabe kann mit der Methode der Ebenenbüschel sehr wohl gelöst werden. Beachte: Eine allgemeine Tangentialebene des Ellipsoids mit P1(x1/y1/z1) als Berührungspunkt lautet: 3 x1 x + 4 y1 y + 5 z 1 z - 48 = 0 (Polarisation) Benütze sodann den Satz 2 Ebene fallen zusammen, wenn alle Koeffizienten proportional sind. Das gibt drei Gleichungen Die vierte lautet, da P1 auf dem Ellipsoid liegt: 3 x1^2 + 4 y1 ^2 + 5 z1 ^2 = 48 . Es gibt zwei Lösungsquadrupel für die Unbekanten x1,y1,z1 und den Parameter t in der Gleichung des Ebenenbüschels. Viel Erfolg! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 721 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Mai, 2003 - 21:10: |
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Hi megamath, besten Dank für deine Tipps . Ich glaube das Rätsel jetzt endlich gelöst zu haben! Die Tangetialebene E1: 9x + 8y + 5z = 48 mit Berührpunkt B(3|2|1) (Büschelparameter : 1/3) Die Tangentialebene E2: 3x + 4y + 5z = 24 mit Berührpunkt B(2|2|2) (Büschelparamter : 1) Aber ich muss auch zugeben, das diese Rechung sehr umfangreich war und sich immer kleine, aber hartnäckige Rechenfehler eingeschlichen haben! Kannst du deine Lösungsmethode auch kurz skitzzieren, oder ist sie diesslebe? mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2081 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 26. Mai, 2003 - 10:13: |
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Hi Ferdi, ich schreibe das Resultat an und skizziere meinen Lösungsweg; Beides stimmt mit Deinen Resultaten überein. Resultat: Gleichungen der Tangentialebenen T1: 9 x + 8 y + 5 z = 48, Berührungspunkt B1(3/2/1) T2: 3 x + 4 y + 5 z = 24, Berührungspunkt B2(/2/2) Lösungsweg: Eine Gleichung aller Ebenen, welche durch die Schnittgerade s der Ebenen 3 x + 2 y - 12 = 0 und 2 y + 5 z – 12 = 0 gehen, lautet: 3 x + 2 y - 12 + t * (2 y + 5 z – 12) = 0 mit t als Parameter. Ordne diese Gleichung und bringe sie auf die Form Ax + By + Cz + D = 0……………………………………………(1) A = 3,B=2+2t,C=5t ,D=-12-12t Eine allgemeine Tangentialebene des Ellipsoids mit P1(x1/y1/z1) als Berührungspunkt lautet: 3 x1 x + 4 y1 y + 5 z 1 z - 48 = 0……………………..(2) Die Ebenen (1) und (2) fallen zusammen, wenn alle Koeffizienten proportional sind. Das gibt drei Gleichungen, in denen x1, y1 , z1 und t auftreten, nämlich 3/(3x1) = (2+2t) / (4y1) = 5t /(5z1) = (-12 -12t)/(-48) Drücke x1, y1, z1 je durch t aus, und setze die Werte in die Gleichung 3 x1^2 + 4 y1 ^2 + 5 z1 ^2 = 48,welche aussagt, dass P1 auf dem Ellipsoid liegt Es entsteht eine quadratische Gleichung in t. So kommt man zu den zwei Lösungstripeln, die oben angegeben sind. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath
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