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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2070 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 14:26: |
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Hi allerseits, Hier kommt sie, die Nr.3 der lockeren Folge! Die Aufgabe schliesst ebenfalls an eine Frage bezüglich der Schar aller Transversalen dreier windschiefer Geraden an, die kürzlich in diesem Forum (von evi) gestellt und von mir beantwortet wurde. Wir ändern die Daten etwas ab: Die Gleichungen der Geraden a ,b, c lauten mit t als Parameter so: a: x = t ; y = 0 ; z = t b: x = 1 – t ; y = 1 ; z = t . c: x = 1 ; y = z = ½ Die Schar der Transversalen erzeugt diesmal ein hyperbolisches Paraboloid; °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° hihi.. Von dieser Fläche sind zu bestimmen: a) eine parameterfreie Gleichung in x,y,z. b) die Koordinaten des Sattelpunktes S. c) Gleichung der Tangentialebene im Punkt P(1/1/?) als Berührungspunkt.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 715 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 23:12: |
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Hi, megamath du hast es geschafft. Ich zerbreche mir schon den ganzen Abend den Kopf. Ich würde diese Aufgabe gerne noch am Wochenende bearbeiten, da ich am Montag in meinen wohlverdienten 1wöchigen Urlaub fahre, aber es gelingt mir nicht die Gleichung der Transversalen zu bestimmen! Ich habe zwar dein "Rezept" das du Evi vorschlägst angewandt, aber es führte nicht zum Erfolg. Am meisten Probleme dabei macht mir die Gerade c, sie stellt ja nur einen Punkt dar! Vielleicht gibt es hier noch einen Trick, da diese vier kleinen Buchstaben "hihi" darauf hindeuten, dass diese Sache einfacher ist als sie scheint... Jetzt will ich mich erstmal hinlegen, das mir der Kopf nicht ganz zerbricht mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2071 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 05:45: |
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Hi Ferdi, Es tut mir sehr leid,dass bei meiner Angabe der Geradengleichungen ein Tippfehler sich eingeschlichen hat: es muss rchtiig so heissen: c: x = 1 - t ; y = 1/2 ; z = 1/2 Auf c habe ich den Punkt C(u/0,5/0,5) ausgewählt mit u als Parameter ! Die Gleichung der Ebene (C,a) lautet dann: x + (1- 2u) y - z = 0, die Ebene (C,b): x + (2 u - 1) y + z = 2u bitte nachprüfen ! MfG H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 716 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 12:00: |
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Hi, ich hatte auch schon an meinen Fähigkeiten gezweifelt... Ich erhalte nun als Flächengleichung: 2xy-x-y+z=0 mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2073 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 12:57: |
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Bravo! m.f.G. H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 718 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 18:13: |
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Hi, die Tangentialebene ergibt sich dann zu: x+y+z=2 Kann ich den Sattelpunkt auch über nullsetzen des Gradienten errechnen, oder muss ich hier auch noch mit der Hesse-Matrix argumentieren? Ich hätte den Punkt x=y=z=0,5 anzubieten als Sattelpunkt. mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2074 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 18:34: |
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Hi Ferdi, die Koordinaten des Sattelpunktes sind richtig ! Mit z = z(x,y) arbeiten ! MfG H.R.Moser,megaamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 719 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 19:30: |
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Alles klaro!! Ich wünsche dann nächste Woche viel Spass hier mit den Aufgaben. Bin dann in einer Woche wieder dabei! Mal ganz nebenbei: Kannst du mir vielleicht ein paar gute Geometriebücher empfehlen, oder ist es so wie elsa es sagte, das es keine guten mehr gibt? mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2075 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 19. Mai, 2003 - 07:40: |
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Hi Ferdi, Schlussbemerkung zu LF III Bei der Verwendung des Mittelpunktsgleichungssystems, das durch Nullsetzen des Vektors grad [F(x,y,z)] entsteht, stellt sich ein Widerspruch ein, d.h.: es gibt keinen Mittelpunkt. Dieses System lautet: 2 x – 1 = 0 2 y – 1 = 0 1 = 0 , voilà ! Die Theorie besagt: Das Vorzeichen der Eigenwerte entscheidet darüber, ob ein elliptisches oder ein hyperbolisches Paraboloid vorliegt. Das charakteristische Polynom der quadratischen Form mit L als Variable lautet: - L^3 + L = 0. Die Eigenwerte sind L1 = 1, L2 = - 1 , L3 = 0. Da die Vorzeichen von L1 und L2 verschieden sind, liegt ein hyperbolisches Paraboloid vor. Eigenvektoren: Zu L = L1 = 1: {1;1;0} Zu L = L2 = -1: {-1;1;0} Zu L = L3 = 0: {0;0;1} Es ist reizvoll, die Situation mit den gegebenen windschiefen Geraden a , b , c einerseits und einigen Transversalen dieser Geraden andrerseits in schiefer Parallelprojektion zu skizzieren und zwar in einem (x,y,z)-System mit eingezeichnetem Einheits -Würfel ,Ecken O(0/0/0),(1/0/0),(1/1/0),(0/1/0), (0/0/1),(1/0/1),(1/1/1),(0/1/1). Verwendet man ein Dutzend geeigneter Transversalen, so kommt die Sattelfläche zum Vorschein! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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