| Autor |
Beitrag |
    
Koni Sch.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 15:08: | 
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Hallo,
Wer hilft mir, die folgende Reihe auf
Konvergenz / Divergenz zu untersuchen ?
Die Aufgabe lautet :
Für welche Punkte auf dem Konvergenzkreis
divergiert die Reihe
Sum {z ^ (4n) / (4n) }, n = 1 bis unendlich;
z komplex ?
Koni Sch.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 16:25: |
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Hi Koni
Zuerst ermitteln wir den Konvergenzradius R der Reihe.
R ergibt sich als Grenzwert a(n) / a(n+1) für n strebt gegen
unendlich; die Koeffizienten a(n) und a(n+1) lauten:
a(n) = 1/(4n), a(n+1) =1 /{4(n+1)}, ihr Quotient
a(n) / a(n+1) = 1 + 1 /n ; dies strebt gegen 1, somit gilt:
R = 1 .
Für einen allgemeinen Punkt auf dem Konvergenzkreis
setzen wir an:
z = e ^( i t) = cos (t) + i sin (t)
Daraus folgt für die Potenz z ^ (4n):
z ^ (4n) = e ^ ( i4n t) = cos (4nt) + i sin (4nt)
Substituieren wir noch 4 t = s , so entsteht
z^(4n) = cos( n s) + i sin ( n s ); setzen wir dies in die Reihe ein,
so kommt:
¼ sum [cos(n s) / n + i sin (n s) / n]
Die Zerlegung in Realteil und Imaginärteil liefert die
entscheidenden reellen Teilreihen
sum [cos(n s) / n ] und sum [ sin (n s) / n] , der
Summationsindex n läuft dabei von n = 1 ad infinitum.
Diese Reihen divergieren bekanntlich genau dann,
wenn s = 2k * Pi für ganzzahlige k gilt.
Für t lautet die Divergenzbedingung :
t = k* ½ * Pi.
Dies führt auf die vier Divergenzpunkte
1, i1 , -1, -i1 auf dem Konvergenzkreis.
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 358
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 16:42: |
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ganz sicher für z in {±1,±i}
da
dort z4n ebenfalls ±1,±i gilt
und
die Reihesumme ±1/4 der Harmonischen oder ±i*1/4Harmonische wird,
außerdem
für |z| >=1 und Winkel = Pi/8 + n*(Pi/2)
analog
zu obiger Begründung
(Beitrag nachträglich am 24., Mai. 2002 von friedrichlaher editiert)
(Beitrag nachträglich am 24., Mai. 2002 von friedrichlaher editiert) |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 359
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 16:53: |
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@Hallo megamath:
seh' ich zu große Winkel, oder ist nicht doch
4*(Pi/8) = Pi/2 und damit bei |z| = 1 und n >= 1
z4n = i ?
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 360
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 17:48: |
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@beide: t'schuldigung, seh schon,
i/4(1-1/3+1/5-1/7...)
+1/8-1/16...
also konvergent.
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