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Jodokus
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 16:37: |
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Hallo. Auf Seite http://www.zahlreich.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi?tpc=4244&post=102474#POST102474 wurde bewiesen, dass Sk=1oo k/2k = 2 ist. wie beweist man, dass Sk=1oo k²/2k = 6 Sk=1oo k³/2k = 26 Sk=1oo k4/2k = 150 etc. Falls es hilft: für s(n) = Sk=1oo kn/2k scheint eine rekursive Formel zu gelten: s(n) = 1 + Sm=0n-1 (n über m) * s(m) wobei s(0) = Sk=1oo k0/2k = 1 ist.
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Xell (vredolf)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 66 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 22:23: |
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Hallo Jodokus! Ich schlage eine Schritt-für-Schritt-Zerlegung der Summe vor, wie sie uns auch schon bei den mittlerweile zwei vorherigen Aufgaben zum Ziel geführt hat. Reihen der Form sum(k^n/q^k,k=1..inf) lassen sich demnach stets auf Summen der entsprechenden geometrischen Reihe sum(1/q^k,k=1..inf) zurückführen. Es gilt also sicher: sum(k^n/q^k,k=1..inf) = sum(a_j * sum(1/q^k,k=j..inf),j=1..inf). Hierbei stellen die a_j die zu bestimmenden Koeffizienten dar. Weiter können wir uns stets zunutze machen, dass sum(1/q^k,k=j..inf) = 1/q * sum(1/q^k,k=j-1..inf) gilt für j>0. Gruß und gute N8, X. |
Xell (vredolf)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 67 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 27. Mai, 2002 - 16:02: |
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Hi Jodokus! Kleine Aktualisierung: R(n) := sum(k^n/q^k,k=1..inf) Bereits berechnet habe ich R(0) = q/(q-1) R(1) = q/(q-1)^2 R(2) = (q^2+q)/(q-1)^3 Damit ergibt sich der Spezialfall von R(2) mit q=2 zu R(2) = (4+2)/1^3 = 6. Unsere bisher bewiesenen Reihen fügen sich nahtlos ein: R(1) mit q=2: R(1) = 2/1^2 = 2 Ebenso R(2) mit q=3: R(2) = (9+3)/2^3 = 12/8 = 3/2 Die explizte Darstellung von R(n) herzuleiten würde das Thema angemessen abrunden. Gruß, X. |
Mathenixpeiler
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 27. Mai, 2002 - 16:09: |
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Ah ja,alles klar,total verständlich,so hätte ich das auch gemacht...das ist Mathe oder bin ich da komplett falsch? |
Jodokus
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. Mai, 2002 - 21:11: |
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Hi Xell, danke auch hier für das Zeigen dieses Weges. Ich habe für n=2..4 bisher folgende Formeln erhalten: R(2) = Sum( (2*j-1) * Sum(1/q^k,k=j..infinity) , j=1..infinity) R(3) = Sum( (3*j^2 - 3*j + 1) * Sum(1/q^k,k=j..infinity) , j=1..infinity) R(4) = Sum( (4*j^3 - 6*j^2 + 4*j - 1) * Sum(1/q^k,k=j..infinity) , j=1..infinity) so dass sich die allgemeine Formel (leider in einer zu wenig expliziten Form) schon erahnen lässt: R(n) = Sum( (j^n - (j-1)^n) * Sum(1/q^k,k=j..infinity) , j=1..infinity) aber ich habe keine Idee, wie ich von hier aus auf deine Darstellung R(2) = (q^2+q)/(q-1)^3 kommen kann. Gruß, Jodokus |
Xell (vredolf)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 74 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 01:35: |
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Hallo Jodokus! Den Zusammenhang mit R(n) = (j^n - (j-1)^n)* ... hab ich mir auch schon klargemacht. Um meine Vermutung zur Darstellung von R(n) zu verfolgen, setze ich dich nun über Ergebnisse in Kenntnis, die ich mittels eines CAS erhalten habe. Nun eine Liste mit Faktorisierungen von R(n), n=0..10 R(0) = 1/(q-1) R(1) = q/(q-1)^2 R(2) = q * (q+1)/(q-1)^3 R(3) = q * (q^2 + 4q + 1)/(q-1)^4 R(4) = q * (q^3 + 11q^2 + 11q + 1)/(q-1)^5 R(5) = q * (q^4 + 26q^3 + 66q^2 + 26q + 1)/(q-1)^6 R(6) = q * (q^5 + 57q^4 + 302q^3 + 302q^2 + 57q + 1)/(q-1)^7 Demnach dürfte die Form von R(n) klar sein: R(n) = q * (q^(n-1) + a_{n-2} * q^(n-2) + ... + a_1 * q + 1)/(q-1)^(n+1) Bleibt noch, das Prinzip, nach dem die a_i zu berechnen sind, herauszufinden. Hier bediene ich mich einer Intenet-Datenbank, die zahlreiche Folgen aufführt (http://www.research.att.com/~njas/sequences/). Ergebnis: a_1 = 2^n - n - 1 (sog. "Eulersche Zahlen") Da das Polynom offenbar symmetrisch ist, ist damit auch a_{n-2} = a_1 Anscheinend lassen sich sämtliche Koeffizienten durch das Eulersche Dreieck (?) bestimmen. Das Problem dürfte damit gelöst sein. Die Beschäftigung mit besagtem Dreieck er- scheint mir optional. Hier ein Link für Hinweise: http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=008292 Soviel erstmal von mir heute Abend, Xell |
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