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Koni Sch.
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 15:08: |
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Hallo, Wer hilft mir, die folgende Reihe auf Konvergenz / Divergenz zu untersuchen ? Die Aufgabe lautet : Für welche Punkte auf dem Konvergenzkreis divergiert die Reihe Sum {z ^ (4n) / (4n) }, n = 1 bis unendlich; z komplex ? Koni Sch.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 16:25: |
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Hi Koni Zuerst ermitteln wir den Konvergenzradius R der Reihe. R ergibt sich als Grenzwert a(n) / a(n+1) für n strebt gegen unendlich; die Koeffizienten a(n) und a(n+1) lauten: a(n) = 1/(4n), a(n+1) =1 /{4(n+1)}, ihr Quotient a(n) / a(n+1) = 1 + 1 /n ; dies strebt gegen 1, somit gilt: R = 1 . Für einen allgemeinen Punkt auf dem Konvergenzkreis setzen wir an: z = e ^( i t) = cos (t) + i sin (t) Daraus folgt für die Potenz z ^ (4n): z ^ (4n) = e ^ ( i4n t) = cos (4nt) + i sin (4nt) Substituieren wir noch 4 t = s , so entsteht z^(4n) = cos( n s) + i sin ( n s ); setzen wir dies in die Reihe ein, so kommt: ¼ sum [cos(n s) / n + i sin (n s) / n] Die Zerlegung in Realteil und Imaginärteil liefert die entscheidenden reellen Teilreihen sum [cos(n s) / n ] und sum [ sin (n s) / n] , der Summationsindex n läuft dabei von n = 1 ad infinitum. Diese Reihen divergieren bekanntlich genau dann, wenn s = 2k * Pi für ganzzahlige k gilt. Für t lautet die Divergenzbedingung : t = k* ½ * Pi. Dies führt auf die vier Divergenzpunkte 1, i1 , -1, -i1 auf dem Konvergenzkreis. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 358 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 16:42: |
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ganz sicher für z in {±1,±i} da dort z4n ebenfalls ±1,±i gilt und die Reihesumme ±1/4 der Harmonischen oder ±i*1/4Harmonische wird, außerdem für |z| >=1 und Winkel = Pi/8 + n*(Pi/2) analog zu obiger Begründung (Beitrag nachträglich am 24., Mai. 2002 von friedrichlaher editiert) (Beitrag nachträglich am 24., Mai. 2002 von friedrichlaher editiert) |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 359 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 16:53: |
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@Hallo megamath: seh' ich zu große Winkel, oder ist nicht doch 4*(Pi/8) = Pi/2 und damit bei |z| = 1 und n >= 1 z4n = i ?
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 360 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 17:48: |
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@beide: t'schuldigung, seh schon, i/4(1-1/3+1/5-1/7...) +1/8-1/16... also konvergent.
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