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Beitrag |
    
Hubert
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 09:29: | 
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Hallo,
Ich habe schon wieder eine Aufgabe über orthogonale
Trajektorien, die noch schwieriger zu sein scheint als
die letzte.
Man bestimme die orthogonalen Trajektorien der
einparametrigen Kreisschar
(x - p)^2 + y^2 = a^2, p ist der Parameter, a eine
gegebene Konstante.
Vielen Dank im voraus !
Hubert |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. November, 2001 - 11:41: |
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Hi Hubert
Hier die Lösung ; die Aufgabe ist tatsächlich
recht anspruchsvoll: eine echte Herausforderung !
Wir rechnen:
(x-p) = wurzel ( a^2 – y^2 ) aus der Gleichung der Schar.
Implizite Differentiation dieser Gleichung gibt:
2(x-p)+2yy´= 0 , daraus
y ´ = - (x-p) / y = - wurzel(a^2-x^2) / y
als Differetialgleichung der gegebenen Kreisschar.
Wir erhalten eine Dgl. der Schar der orthogonalen
Trajektorien, indem wir y´ durch – 1 / y´ ersetzen.
Diese Dgl. lautet demnach:
y ´ = y / wurzel(a^2-y^2) ; sie lässt sich durch
eine Separation der Variablen angehen.
wurzel ( a^2 – y^2 ) / y = dx ;
Nun zur Integration :
Die Integration rechter Hand liefert einfach
x .
°°
Für das Integral links führen wir am besten die
Substitution y = a sin t , dy = a cos t dt durch.
Das neue Integral in der Variablen t lautet :
J = a * int [ (1 / sint - sin t ) * dt ] ;
Resultat:
J = a* {cos t + ln tan(t /2) }+ c ; c : Integrationskonst.
Setzt man J = x so entsteht eine Parameterdarstellung
der gesuchten Kurvenschar mit c als Scharparameter:
x = a* {cos t + ln [tan (t /2)] }+ c.
y = a sin t
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Wir berechnen noch die Ableitung y´(x) als Quotient
y Punkt / x Punkt.
Es kommt: y´(x) = tan t.
Deutung von t: die bei der Substitution verwendete
Variable t ist nichts anderes als der Richtungswinkel
einer Kurventangente t .
Diese Tangente t mit Berührungspunkt P schneide die
x-Achse in T.
Dann besagt die Gleichung
y = a sin t oder y / sin t = a = const,, dass die
Tangentenstrecke PT = y / sin t konstant ist.
Eine Kurve mit der Eigenschaft, dass die
Tangentenstrecke PT eine konstante Länge hat,
ist die Schleppkurve (Tractrix) von
Christian Huygens(1629-1695)..
Damit ist dieses Problem gelöst !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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