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Hubert
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. November, 2001 - 08:36: |
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Hallo, ich komme mit der folgenden Aufgabe nicht zurecht: Man bestimme die orthogonalen Trajektorien der einparametrigen Ellipsenschar p^2 * x^2 + y^2 = p^2 ( p als Parameter). Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar. Hubert. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. November, 2001 - 09:56: |
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Hi Hubert, Wir leiten die Gleichung der Kurvenschar p^2 * x ^2 + y ^ 2 = p^2……………….(1) implizit nach x ab. 2* p^2 * x + 2 *y * y´ = 0 , daraus y´ = - p^2 * x / y………………………(2) Aus den Gleichungen (1) , (2) wird der Parameter eliminiert, indem p^2 = - y * y ´/ x aus (2) in (1) eingesetzt wird; es entsteht eine Dgl.der Ellipsenschar, nämlich : x ^ 2 - x * y / y´= 1……………………(3) Um daraus eine Dgl. der orthogonalen Trajektorien zu erhalten, ersetzen wir y´ durch – 1 / y´ ; es entsteht : x ^ 2 + x * y * y ´ = 1, oder y ´ * y = ( 1 – x ^ 2) / x ………………(4) als Dgl. der gesuchten Schar. Diese Dgl. lässt sich durch eine Separation der Variablen lösen; aus int [y*dy] = int [(1- x^2 ) / x * dx] entsteht mit c als Scharparameter: y ^ 2 / 2 = ln x – x ^ 2 / 2 + ln c , also x ^ 2 + y ^ 2 = 2* ln (cx) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° MfG H.R.Moser,megamath. |
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