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Pit
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 21:35: |
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Hallo, Ich bitte um Hilfe bei der Lösung der folgenden Aufgabe aus dem Gebiet Anwendungen der Differenzialgleichungen auf ebene Kurven. Für welche Kurven ist die Normale in jedem Punkt P gleich dem Krümmungsradius in diesem Punkt ? (Die Normale ist die Strecke auf der Kurvennormalen von P bis zu ihrem Schnittpunkt mit der x-Achse) Vielen Dank zum voraus. Pit |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 07:05: |
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Hi Pit, Du hast mir mit Deiner Aufgabe einen Teil des Schlafs geraubt; ich hoffe aber, dass sich die Investitionen in die nächtliche Arbeit gelohnt haben. Hier eine Lösung. Wir lösen die Aufgabe etwas allgemeiner und fragen: für welche Kurven ist der Krümmungsradius R das v-fache der Normalen N; wann gilt also R = v * N; die zugehörige Dgl. lautet: [ 1 + (y´ )^2] ^ (3/2) / y´ ´ = v * wurzel [y^2+ ( y y´ ) ^ 2 ] wie man anhand einer einfachen Handskizze leicht feststellt Die Formel für den Krümmungsradius dürfte allgemein bekannt sein. Zieht man rechts noch y als Faktor vor die Wurzel und dividiert man beide Seiten mit wurzel [1+( y´ ) ^ 2 ], so verbleibt: [ 1 + ( y´ ) ^2 ] / ( v * y ) = y ´´ Diese Dgl. ist frei von x ; daher substituieren wir y´= p(y) . Daraus wird y ´´ = dp/dy * dy/dx = dp/dy * y´=dp/dy * p Wir erhalten eine Dgl. erster Ordnung für p(y) als unbekannte Funktion. (1 + p ^ 2 ) / ( v * y ) = p * dp / dy Die Variablen lassen sich trennen ; es entsteht : dy / y = v * [ p / ( 1 + p ^2 )] * dp, integriert : ln y = v * ½ * ln ( 1 + p ^2 ) + ln ( a ) mit a als Integrationskonst., also: ½ * v * ln (1 + p ^ 2 ) = ln(y/a),mithin 1 + p ^ 2 = [y / a ] ^ ( 2 / v ) ,daraus y ´ = p = dy/dx = wurzel { [ y / a ] ^ (2 / v) – 1 }, Wir trennen die Variablen x , y : dx = dy / wurzel { [y/a] ^(2/v)-1 } oder, indem wir zunächst - wie verlangt- v = 1 setzen: dx = a * dy / wurze [ y ^ 2 – a ^ 2 ] Wenn wir nun zum zweitenmal integrieren, so entsteht die Gleichung einer Schar von Kettenlinien : x + c = a * arcosh ( y / a ), schliesslich: y = a * cosh {(x + c) / a } ; a und c sind Integrationskonstante. Die Gegenfrage Frage sei gestellt. Welche Kurven entstehen für v = - 1, v = 2 , v = - 2 ? Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
Pit
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 15:55: |
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Hallo H.R.Moser,megamath, vielen Dank für Deine lehrreiche Antwort ! Ich habe mich mit andern Faktoren ein wenig herumgeschlagen; Resultat: v = -1 : Kreis v = 2 : Parabel v = - 2 : Zykloide MfG Pit |
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