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Bernoulische Ungleichung

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Angelina
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Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 21:55:   Beitrag drucken

Hallo,
ich habe ein grosses problem...gibt es jemand, der mir helfen kann?
Ich muss mittels vollständiger Induktion beweisen:

(a) Für beliebige natürliche zahlen k,n<-N mit 1<=k<=n gilt
(j) (n+1)
(k)=(k+1)

(b)(Bernoulische Ungleichung)
Für alle n<-N und x<-R mit x>=-1 gilt
(1+x)hoch n >=1+nx
Wann gibt es gleichkeit.
ich bin sehr dankbar...und es wäre sehr nett wenn jemand mir dabei helfen kann ;)
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 13:18:   Beitrag drucken

Hi Angelina ,

Bei den folgenden Ausführungen treten Binomialkoeffizienten
auf.
Für " n über k " ( " n tief k" ) schreibe ich :
( n, k ) ; es gilt demnach :
( n, k) = n! / [ k! * ( n - k) ! ]

A) In Anwendung dichterischer Freiheit ( licentia poetica )
interpretiere ich Deine erste Aufgabe so:
Es ist dieGültigkeit der folgenden Formel zu beweisen:
( n , k+1 ) + ( n , k ) = ( n + 1 , k + 1 ).......................(I)
Der Beweis kann direkt oder mit vollständiger Induktion
ausgeführt werden

Direkter Beweis :
Für die linke Seite L von (I) schreiben wir:
L = n! / [( k +1) ! * (n - k - 1 ) !] + n! / [ k ! * ( n - k ) ! ]
Das kgV der beiden Nenner ist
N = ( k+1) ! * (n - k) ! ; mit diesem Term als Nenner schreibt
sich L so:
L = { n ! * (n - k) + n! * (k+1) } / N = {n ! (n-k+k+1)}/ N =
= n! * (n+1) / N = (n+1) ! / N ; das ist aber die rechte Seite R
von (I) , w.z.b.w.

Der Beweis mittels vollständigen Induktion kann bei Bedarf
nachgeliefert werden

B) Die Ungleichung von Bernoulli lautet:
( 1 + x ) ^ n > = 1 + n * x ; ( n = 1,2...; x > = - 1 )
Das Gleichheitszeichen gilt :
i) für beliebige n und x = 0 , ii) für beliebige x und n = 1

Induktionsbeweis nach n :
Verankerung: n =1: in Ordnung
Vererbung (Schluss von n auf n+1):
Induktionsvoraussetzung: (1 + x ) ^ n >= 1 + n*x..... (1)
Es ist zu zeigen:
(1+x )^ ( n +1) >= 1 + ( n +1) * x
Wir multiplizieren beide Seiten von (1) mit (1+x) ; es kommt:
(1+x) ^ (n +1) > = 1 + ( n +1) * x + + n * x ^ 2 .......... (2)
Aus x^2 >=0 folgt n*x^2 >= o , und die Ungleichung (2)
geht durch Unterdrückung des Terms n*x^2
in die Ungleichung (1) über, w.z.b.w.
Ende des Beweises !

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Angelina
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Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 21:49:   Beitrag drucken

Hallo H.R.Moser,
jetzt ist es mir alles klar.
Vielen Dank
Mit freundlichen Grüssen
Angelina

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