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Angelina
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 21:55: |
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Hallo, ich habe ein grosses problem...gibt es jemand, der mir helfen kann? Ich muss mittels vollständiger Induktion beweisen: (a) Für beliebige natürliche zahlen k,n<-N mit 1<=k<=n gilt (j) (n+1) (k)=(k+1) (b)(Bernoulische Ungleichung) Für alle n<-N und x<-R mit x>=-1 gilt (1+x)hoch n >=1+nx Wann gibt es gleichkeit. ich bin sehr dankbar...und es wäre sehr nett wenn jemand mir dabei helfen kann ;) |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 13:18: |
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Hi Angelina , Bei den folgenden Ausführungen treten Binomialkoeffizienten auf. Für " n über k " ( " n tief k" ) schreibe ich : ( n, k ) ; es gilt demnach : ( n, k) = n! / [ k! * ( n - k) ! ] A) In Anwendung dichterischer Freiheit ( licentia poetica ) interpretiere ich Deine erste Aufgabe so: Es ist dieGültigkeit der folgenden Formel zu beweisen: ( n , k+1 ) + ( n , k ) = ( n + 1 , k + 1 ).......................(I) Der Beweis kann direkt oder mit vollständiger Induktion ausgeführt werden Direkter Beweis : Für die linke Seite L von (I) schreiben wir: L = n! / [( k +1) ! * (n - k - 1 ) !] + n! / [ k ! * ( n - k ) ! ] Das kgV der beiden Nenner ist N = ( k+1) ! * (n - k) ! ; mit diesem Term als Nenner schreibt sich L so: L = { n ! * (n - k) + n! * (k+1) } / N = {n ! (n-k+k+1)}/ N = = n! * (n+1) / N = (n+1) ! / N ; das ist aber die rechte Seite R von (I) , w.z.b.w. Der Beweis mittels vollständigen Induktion kann bei Bedarf nachgeliefert werden B) Die Ungleichung von Bernoulli lautet: ( 1 + x ) ^ n > = 1 + n * x ; ( n = 1,2...; x > = - 1 ) Das Gleichheitszeichen gilt : i) für beliebige n und x = 0 , ii) für beliebige x und n = 1 Induktionsbeweis nach n : Verankerung: n =1: in Ordnung Vererbung (Schluss von n auf n+1): Induktionsvoraussetzung: (1 + x ) ^ n >= 1 + n*x..... (1) Es ist zu zeigen: (1+x )^ ( n +1) >= 1 + ( n +1) * x Wir multiplizieren beide Seiten von (1) mit (1+x) ; es kommt: (1+x) ^ (n +1) > = 1 + ( n +1) * x + + n * x ^ 2 .......... (2) Aus x^2 >=0 folgt n*x^2 >= o , und die Ungleichung (2) geht durch Unterdrückung des Terms n*x^2 in die Ungleichung (1) über, w.z.b.w. Ende des Beweises ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
Angelina
| Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 21:49: |
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Hallo H.R.Moser, jetzt ist es mir alles klar. Vielen Dank Mit freundlichen Grüssen Angelina |
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