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y'' y^2 = C; C element R

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Demon
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 13. September, 2002 - 18:14:   Beitrag drucken

ich waere dankbar wenn mir jemand ansaetze fuer solche nichtlinearen gleichungen hoeherer ordnung angeben koennte

-- Demon
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xam
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 13. September, 2002 - 21:47:   Beitrag drucken

y''(x)=c/y^2

2y'(x)*y''(x)=c*2*y'(x)/y(x)^2
d((y'(x)^2)/dx=2*c/y(x)^2*dy/dx
d(y'^2)=2c/y^2 *dy
y'^2=-2c/y
dy=wurzel{-2c/y}dx

dy/wurzel{-2c/y}=dx
wurzel{y}dy=wurzel{-2c}dx
2/3*(y)^3/2=wurzel(-2c)x+k
y=(3/2*wurzel(-2c)x+k)^(2/3)
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xam
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 13. September, 2002 - 21:53:   Beitrag drucken

Fehler!

5.Zeile: y'(x)^2=-2c/y+k1
dy=wurzel(-2cy+k1)dx
dy/wurzel(-2cy+k1)=dx
Integral ( siehe Bronstein)

Der Trick ist mit 2y' zu multiplizieren um auf
(d(y'^2)/dx integrieren zu können!!
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Orion (orion)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 313
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 14. September, 2002 - 02:53:   Beitrag drucken

Demon,

Es handelt sich um eine Dgl. 2. Ordnung,
in welcher die Variable x nicht explizit
auftritt. Dann kann man die Ordnung
um 1 erniedrigen, indem man setzt

dy/dx = p ==> d2y/dx2 = p*dp/dy.

Das ergibt hier

p*dp = c*dy/y2

Eine erste Integration und Trennung der Variablen führt auf

sqrt[y/(ay-2c)] dy = dx.

Dabei ist a eine Integrationskonstante.
Das Integral bzgl. y lässt sich elementar
auswerten .
Im Beitrag von xam fehlt m.E. links der
Faktor sqrt(y).



mfg

Orion
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xam
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 16:51:   Beitrag drucken

Ja Orion hat recht!
Ich hab im 2. Beitrag das / unterschlagen
Tippfehler und falsch weitergerechnet !!!
dy/wurzel(-2c/y+k1)=dx
wurzel( y/(k1y-2c)dy=dx
jetzt stimmts aber!

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