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Beitrag |
    
Matthias
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 16:27: | 
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Hallo Mathe-Cracks!
Bräuchte etwas Hilfe bei meinen kleinen Aufgaben:
Berechne die Fouriertransformierte (in Dimension 1) für
a) f(x)=1/((x^2+1)^5) und b) f(x)=1/cosh(x)
mit Hilfe des Residuensatzes.
Komme mit dem Residuensatz nicht klar.
Danke im voraus. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Februar, 2001 - 08:02: |
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Hallo :
Ich komme aus ZeitgrŸnden jetzt nur zu a).
Die exponentielle F-Transformierte lautet
F(y) = 1/sqrt(2pi)*int[-oo,+oo](e^(ixy)*(x^2+1)^(-5))dx.
Die Fassung des Residuensatzes, die wir hier
brauchen, lautet : Die rationale Funktion R(z)
habe keine Pole auf der reellen Achse, es
gelte R(z)->0 fŸr z->oo,und es sei y>0. Dann ist
int[-oo,+oo](R(x)e^(ixy)dx) =
2*pi*i*Summe der Residuen der Pole von R(z)e^(iyz) in der oberen Halbebene (Im z > 0).
In unserem Fall ist
R(z) = 1/(z^2+1)^5 = (z+i)^(-5)*(z-i)^(-5),
d.h. wir haben einen Pol 5.Ordnung von R in der
oberen Halbebene, naemlich bei z=i. Um das
Residuum von R(z)e^(iyz) zu finden, schreiben wir
e^(iyz) = e^(-y)*e^[iy(z-i)]
Wir brauchen hiervon den Koeffizienten von (z-i)^4, dieser lautet
(1/4!)*e^(-y)*(iy)^4 = (1/4!)*e^(-y)*y^4
Das ist noch mit dem Wert von (z+i)^(-5) an der
Stelle z=i, also mit (2i)^(-5)= -i*2^(-5) zu
multiplizieren. Also
Res_i(R(z)e^(iyz)) = (-i/768)e^(-y) y^4
Damit ist
F(y) = (sqrt(2*pi)/768)e^(-y) y^4
Ich hoffe,dass mich mich nicht verhauen habe,
prŸfe bitte alles nach.
Gruss
Hans |
toddy
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 22:05: |
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vielen vielen dank für deine Hilfe Hans, Du scheinst das ja zu können? |
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