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Tobi
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 16:22: |
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Hi! Ich bin Informatikstudent, fühle mich aber mehr wie ein überforderter Mathematiker. Mein Problem: Bestätige für x>0 das sog. Laplace-Integral (int((w*sin(w*x))/(a^2 +w^2))dw von 0 bis Unendlich) = (Pi/2*exp(-a*x)) Helft mir bitte! Danke! |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 16:13: |
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Hallo : Der Integrand f(w) ist gerade,d.h. f(-w)=f(w), daher ist das gesuchte Integral I : I = (1/2)int[-oo,+oo]f(w)dw. Ferner ist sin(wx) = Im (exp(iwx)). Wir berechnen nun die Integrale I1 := int[-oo,+oo](e^(iwx)/(w-ia))dw und I2 := int[-oo,+oo](e^(iwx)/(w+ia))dw. Dann sieht man leicht (bitte nachrechnen), dass I = (1/4) Im (I1 + I2) Nach dem Residuensatz gilt nun fŸr eine Funktion g(w), welche keine Pole auf der reellen Achse hat und fŸr w--> oo gegen Null geht,und fŸr x>0: int[-oo,±oo](g(w)e^(iwx)dx) = 2pi*i*Summe der Residuen von g(w)e(iwx) in der oberen Halbebene. Daraus folgt sofort I1 = 2 pi*i*exp(- ax) und I2 = 0. Denn g(w) = (w^2+a^2)^(-1) = (w-ai)^(-1)*(w+ai)^(-1) erfŸllt obige Voraussetzungen, sie hat fŸr a>0 genau bei w = ai einen Pol 1.Ordnung in der oberen Halbebene, und das Residuum des Integranden daselbst ist = e^(-ax). Gruss Hans |
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