| Autor |
Beitrag |
    
Erich L.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 16:55: | 
|
Hallo,
Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen .
Die Aufgabe lautet :
Für welche Werte von t konvergiert die Reihe
Summe ( [ (-1)^n + sqrt(n) ] / n ^ t )
(Summationsindex n = 1 bis unendlich) ,
für welche t-Werte divergiert die Reihe ?
Vielen Dank zum voraus !
MfG
Erich L.
|
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 18:13: |
|
Hi Erich,
Zur Herleitung benützen wir den bekannten Satz,
dass die Reihe
sum [1/n^s, n = 1..infinity] für s > 1 konvergiert
Somit konvergieren die Teilreihen.
sum [(-1)^n /n^t, n = 1..infinity] absolut für für t > 1
und
sum [wurzel(n) / n ^ t , n = 1..infinity] =
sum [1 / { n ^ (t - ½) }, n = 1..infinity]
absolut für t > 3/2
Daher konvergiert auch die gegebene Reihe für t > 3/2,
da die gliedweise Addition der Teilreihen wegen
der absoluten Konvergenz gestattet ist.
Nachweis der Divergenz für t < = 3/2:
an sei das allgemeine Glied der gegebenen Reihe, also:
an = [ (-1)^n + wurzel(n) ] / n ^ t
Wir suchen eine divergente Minorante
mit dem allgemeinen Glied bn
Für t > = 3/2 gilt die Ungleichungskette
an > = [wurzel(n) – 1] / n ^(3/2) = [1 – 1/ (wurzel(n)] / n
> = [ 1- ½] / n = 1 / ( 2n ) = bn > 0 für alle n >= 4 .
Ø Da die Reihe der bn = ½ *1/n bekanntlich divergiert;
ist die Behauptung vollumfänglich bewiesen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamat
|
Erich L.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 09:41: |
|
Hallo H.R.Moser,megamath
Alles klar ! Vielen Dank für Deine verständliche
Herleitung.
Mit freundlichen Grüßen
Erich
|
|
