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Erich L.
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 16:55: |
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Hallo, Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen . Die Aufgabe lautet : Für welche Werte von t konvergiert die Reihe Summe ( [ (-1)^n + sqrt(n) ] / n ^ t ) (Summationsindex n = 1 bis unendlich) , für welche t-Werte divergiert die Reihe ? Vielen Dank zum voraus ! MfG Erich L.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 18:13: |
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Hi Erich, Zur Herleitung benützen wir den bekannten Satz, dass die Reihe sum [1/n^s, n = 1..infinity] für s > 1 konvergiert Somit konvergieren die Teilreihen. sum [(-1)^n /n^t, n = 1..infinity] absolut für für t > 1 und sum [wurzel(n) / n ^ t , n = 1..infinity] = sum [1 / { n ^ (t - ½) }, n = 1..infinity] absolut für t > 3/2 Daher konvergiert auch die gegebene Reihe für t > 3/2, da die gliedweise Addition der Teilreihen wegen der absoluten Konvergenz gestattet ist. Nachweis der Divergenz für t < = 3/2: an sei das allgemeine Glied der gegebenen Reihe, also: an = [ (-1)^n + wurzel(n) ] / n ^ t Wir suchen eine divergente Minorante mit dem allgemeinen Glied bn Für t > = 3/2 gilt die Ungleichungskette an > = [wurzel(n) – 1] / n ^(3/2) = [1 – 1/ (wurzel(n)] / n > = [ 1- ½] / n = 1 / ( 2n ) = bn > 0 für alle n >= 4 . Ø Da die Reihe der bn = ½ *1/n bekanntlich divergiert; ist die Behauptung vollumfänglich bewiesen ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamat
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Erich L.
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 09:41: |
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Hallo H.R.Moser,megamath Alles klar ! Vielen Dank für Deine verständliche Herleitung. Mit freundlichen Grüßen Erich
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