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Christine
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 22:33: | 
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Einer Halbkugel (Kugel) soll ein Quader mit quadratischer Grundläche einbeschrieben werden. Wie sind die Maße des Quaders zu wählen, wenn sein Volumen möglichst groß werden soll ? |
Christine
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 15:25: |
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Es wäre echt lieb, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte. Ich hab schon ein paar mal versucht sie zu Ende zu rechnen, aber ich komme zu keinem Ergebnis. Die Aufgabe soll übrigens mit Hilfe des Strahlensatzes gelöst werden.
Danke, Christine |
Bodo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 18:32: |
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Intuitiv würde ich sagen: Höhe halb so groß wie Grundseite. Aber mal rechnen:
Tipp:
Volumen des Quaders V(h)= g2h
Dann gilt ja auch (g/2)2+h2=r2 => g2=4(r2-h2)
r ist eine Konstante.
Also V(h)=4h(r2-h2)
Jetzt kannst Du per ableiten etc. das h bestimmen, sodaß V(h) maximal wird.
Anschließend berechne aus obiger Gleichung g.
Bodo |
Christine
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 00:25: |
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Sorry, aber ich verstehe die aufgabe immer noch nicht! wie kommst du zum beispiel auf diese formel bei der volumenberechnung für einen quader ? tut mir leid, ich bin in mathe wirklich untalentiert. Kannst du mir vielleicht nochmal helfen ?
Danke schön,
Christine |
Birk
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 19:40: |
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Hi Christine!
Zur Lösung von Extremwertaufgaben brauchst Du:
a) -die Formel, die Du maximieren willst, hier das Volumen des Quaders aus jeder Formelsammlung:
V=a*b*h
da die Grundfläche quadratisch ist, ist a=b also:
V=a²*h. Bodo hat die Seite g genannt, ist doch egal:
V=g²*h
b) -um Variablen in der Hauptformel zu ersetzen brauchst Du eine Nebenbedingung:
Da in der Draufsicht die Grundfläche des Quaders quadratisch ist und die Halbkugel rund, reicht es die Sache als 2D von der Seite zu betrachten. Zeichen Dir dazu eine Skizze, in der Du den Quader in die Halbkugel zeichnest.
Wenn Du hier im Quader die Höhe h in der Mitte des Quaders und von der Mitte eine Diagonale in eine Ecke des Quaders einzeichnest, ergibt sich ein Dreieck. Die Diagonale (längste Seite des Dreieckes) entspricht außerdem dem Radius r der Halbkugel. Weiter gilt im Dreieck der Satz des Pythagoras c²=a²+b² bzw. hier r²=h²+(g/2)². Und das ist eine Nebenbedingung, die wir nach g² umstellen und in die Hauptformel einsetzen.
NB:
r²=h²+(g/2)²
(g/2)²=r²-h² |die 2 quadriert
(g²)/4=r²-h² |*4
g²=4*(r²-h²)
eingesetzt in V=g²*h:
V=h * 4*(r²-h²) |ausmultipliziert
V=4*h*r²-4*h³ |nach h ableiten
V'=4*r²-12*h² |=0 setzen
0=4*r²-12*h² |nach r² umstellen
4*r²=12*h² |:4
r²=3*h² in (g/2)²=r²-h² einsetzen:
(g/2)²=3*h²-h²
(g/2)²=2*h²
(g)²=8*h² |Wurzel ziehen
g=Wurzel(8)*h
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2.Abletung zur Kontrolle:
V'=4*r²-12*h²
V''=-24*h ist für alle positiven h negativ
> ist ein Maximum
Also:
. Hauptformel suchen
- Nebenbedingung suchen
- Nebenbedingung in Hauptformel einsetzen
- 1.Ableitung =0 setzen
- 2.Ableitung muß für ein Maximum negativ sein
Viele Grüße, Birk! |
Christine
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 23:26: |
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Birk, ich danke Dir ! Du hast mir sehr geholfen ! Danke, danke, danke !!!!!
Viele liebe Grüße zurück
Christine |
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