Autor |
Beitrag |
Shanon (Laetitia)
| Veröffentlicht am Freitag, den 03. November, 2000 - 19:09: |
|
Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Grundseite c=12cm und der Schenkellänge a=b=18cm ist ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt einzuschreiben. (mit dem 2.Strahlensatz zu lösen) Bitte in klare Schritte gegliedert. Danke!!!! |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 10:56: |
|
Hi Shanon, Zuerst berechnen wir die Höhe h zur Basis AB des gleichschenkligen Dreiecks ABC Mit F als Fusspunkt der Höhe kommt: nach Pythagoras: h^2 = CF^2 = CB^2 - FB^2 = 18^2 - 6^2 = 288; h =12 * wurzel(2). Jetzt wird dem Dreieck ein Rechteck PQRS einbeschrieben; die Ecken P,Q liegen auf der Basis AB , die Ecken R,S je auf den Schenkeln CB und CA. Die Seiten dieses Rechtecks seien: PQ = SR = x , PS = QR = y Nach dem zweiten Strahlensatz gilt mit G als Mittelpunkt der Strecke SR: SR : AB = CG : CF oder: x : 12 = ( h - y) : h Daraus entsteht die Produktengleichung h * x = 12 * ( h - y ) Setzt man für h den oben berechneten Wert ein und löst die Gleichung nach y auf, so erhält man: y = (12 - x) * wurzel(2) Damit lässt sich die Fläche F = x * y des Rechtecks durch die Variable x allein ausdrücken: F = wurzel(2) * {12* x - x ^ 2 } Wir ermitteln das Maximum der Funktion f(x) = 12 x - x ^ 2 ,welche in der geschweiften Klammer ist. Ableitungen nach x: f ' = 12 - 2 x ; f '' = - 2 < 0 f ' ist null für x = 6 , daraus ergibt sich nach der Beziehung für y: y = 6 * wurzel(2) Weil die zweite Ableitung negativ ist , liegt ein Maximum vor: F max = 36 * wurzel(2) Gruss H.R.Moser,megamath. |
|