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Mathegott
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 09:09: |
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Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundlinie c und der Höhe h. In dieses Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck so einzuzeichnen, dass dessen Spitze im Mittelpunkt der Grundseite c liegt. Der Flächeninhalt des Dreiecks soll ein Maximum annehmen. |
Cosine (Cosine)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 14:57: |
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Hi Mathegott! Für die Rechnung definiere ich mir jetzt ein Koordinatensystem: Und zwar liegt die Grundlinie des äußeren Dreiecks auf der x-Achse, die Höhe h auf der y-Achse. Das äußere Dreieck hat demnach folgende Eckpunkte: (-c/2 | 0) ; (c/2 | 0) ; (h | 0) Soviel zur Orientierung. Nun betrachten wir uns nur den ersten Quadranten dieses Koordinatensystems, d.h. nur die Seite des äußeren Dreiecks durch die Punkte (c/2 | 0) ; (h | 0). Diese Seite hat demnach die Gleichung y=f(x)= -2h/c *x +h. Das gesuchte innere Dreieck liegt nun zur Hälfte im 1. und zur Hälfte im 2.Quadrant. Wir brauchen uns aber -aus Symmetrie-Gründen- nur um den 1.Quadrant zu kümmern. Der Teil des inneren Dreiecks im 1.Quadrant hat die Eckpunkte (0|0), (p|f(p)), (0|f(p)). (f ist die oben genannte Geradenfunktion) Die Fläche dieses Dreiecks ist nun A(p) = inneres Dreieck = 2* Teil im 1.Quadrant = 2 * 1/2*Grundseite *Höhe = 2 * 1/2 *p*f(p) = 2 * 1/2 *p*( -2h/c *p +h) =-2h/c*p²+hp Diese Funktion muss nun maximiert werden: A'(p)=-4h/c*p+h 0=-4h/c*p+h => 4h/c*p=h => pmax=c/4 Dei zweite Ableitung lautet: A''(p)=-4h/c < 0 Also ist pmax=c/4 ein Maximum der Ausgangsfunktion. ANTWORT: Der Flächeninhalt des inneren Dreieck ist maximal, wenn dessen Grundseite den Wert 2*pmax=c/2 hat, und dessen Höhe den Wert f(pmax)=-2h/c *pmax +h =-2h/c *c/4 +h = h/2 hat. Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen. Ciao Cosine |
Mathegott
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 17:34: |
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Vielen Dank, Cosine! |
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