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Jörg
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juli, 2001 - 17:12: | 
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Hallo, ich möcht gern wissen, ob man die Dreiecksungleichung
|a+b| <= |a| + |b| beweisen kann oder ob man die glauben muss.
Auf http://pa01.asn-sbg.ac.at/ha/cabri/details.asp?blattID=37
und auf
http://www.cti.ac.at/~pester/Stoecker/daten/part_1/node57.htm habe ich zwar schöne Bilder gefunden, die das ganze veranschaulichen, aber kann man das auch rein rechnerisch beweisen? |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juli, 2001 - 17:55: |
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Hallo Jörg,
|x + y| £ |x| + |y|
==================
Beweis:
- |x| £ x £ |x|
- |y| £ y £ |y|
=== wir addieren diese beiden Ungleichungen:
-(|x| + |y|) £ x + y £ |x| + |y|
Setzt man x + y = z und |x| + |y| = a so lautet die Doppelungleichung:
-a £ z £ a
das heißt es ist:
|z| £ a
also: |x + y| £ |x| + |y| ...... qed
=========================================== |
Jörg
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juli, 2001 - 20:35: |
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:-) Ja, so gehts, danke für die gute Erläuterung!
Ist vielleicht meine andere Frage auf http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/14156.html auch so gut zu erklären? |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juli, 2001 - 15:22: |
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Hallo Jörg,
Hallo Jörg,
Ich zeige die 2. Ungleichung von Anna:
|x - y| ³ | |x| - |y| |
============================
Wie gehen aus von der Dreiecksungleichung (Beweis siehe oben):
|x + y| £ |x| + |y|
daraus ergibt sich:
|x + y| - |y| £ |x| wir setzen: u=x+y und v=y
|u| - |v| £ |u - v|......da dies für alle u und v gilt, können wir die Buchstaben vertauschen, also:
|v| - |u| £ |v - u| = |u - v|
(das letzte Gleichheitszeichen weil: |v-u| = |-(v-u| =|u-v| )
Die beiden blauen Ungleichungen:
|u| - |v| £ A
|v| - |u| £ A.......wobei A nichtnegative Zahl.
daraus folgt: es muss auch
| |u| - |v| | £ A sein.
Statt den Buchstaben u und v schreiben wir x und y und unser A=|u -v|
also:
| |x| - |y| | £ |x - y|..........qed
================================= |
Jörg
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juli, 2001 - 20:50: |
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Hallo, vielen Dank für die Erklärung.
Und wenn man darin wieder y durch -y ersetzt, erhält man die dritte Ungleichung
| |x| - |y| | £ |x+y|
Also gelten:
| |x| - |y| | £ |x+y|
| |x| - |y| | £ |x-y|
oder zusammengefasst in einer:
| |x| - |y| | £ |x±y|
sowie von oben her schon
|x + y| £ |x| + |y| und wenn man wieder y durch -y ersetzt, auch
|x - y| £ |x| + |y|
oder zusammen in einer:
|x ± y| £ |x| + |y|
und die zusammengefassten wiederum in einer einzigen zusammengefasst:
| |x| - |y| | £ |x±y| £ |x| + |y|
So, das war hoffentlich richtig.
Ist jetzt alles komplett?
Nochmals vielen Dank |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juli, 2001 - 17:29: |
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Hallo Jörg,
Ja, das scheint alles richtig zu sein.
Aber was ist schon komplett?
z.B. gilt auch: |x - y| ³ |x| -|y|
und last not least:
|a1+a2+a3+........an| £ |a1| + |a2| + |a3| + ....... |an|
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Gruß, Fern |
Jörg
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juli, 2001 - 19:51: |
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Danke, Fern.
Gruß, Jörg |
Jörg
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juli, 2001 - 20:06: |
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Die Frage nach "komplett" war etwas doof.
Mir ist noch was eingefallen.
Die letzte Doppelungleichung kann man ja auch wieder aufdröseln:
| |x| - |y| | £ |x±y| £ |x| + |y|
wird zu
| |x| - |y| | £ |x±y| und |x±y| £ |x| + |y|
Und wenn man will, kann man die äußeren (roten) Betragsstriche
vom linken (nie größeren) Term jeweils weglassen.
Dann ergibt sich auch |x| - |y| £ |x±y|
und damit |x| - |y| £ |x-y|
Das andere mit den vielen a's, ist kein Problem mehr, denke ich. Man muss in der allerersten Dreiecksungleichung nur x durch a1 und y durch a2+a3 ersetzen und mit a2+a3 nochmal, und das solange weitermachen, bis man die notwendige Anzahl a's zusammen hat. Aber das aufzuschreiben ist eine andere Geschichte.
Viele liebe Grüße
Jörg |
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