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manu
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Mai, 2001 - 20:35: | 
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eine blöde aufgabe:
gib die lösungsmenge der ungleichung
(|x-1|)/x+1 >= 5
in der variablen x e R an
ich weiß leider nicht wie man die lösungsmenge mittels "fallunterscheidung" herausfinden kann
kann jemand der sich auskennt mir helfen
ganz dickes bussi im voraus!!!
manuela |
Lerny
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Mai, 2001 - 22:21: |
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Hallo mamu
(|x-1|)/x+1 >= 5
Zuerst muss der Nenner ungleich 0 sein. Also x+1=0 <=> x=-1
D=|R{-1}
1. Fall: x-1>=0 => x>=1
(x-1)/(x+1)>=5 |*(x+1)
x-1>=5(x+1)
x-1>=5x+5 |-5x
-4x-1>=5 |+1
-4x>=6 |: (-4)
x<=-6/4=-3/2 keine Lösung da x>=1 sein muss
2. Fall: x-1<0 => x<1
-(x-1)/(x+1)>=5 |*(x+1)
Fall a: x+1>0 =>x>-1
-x+1>=5(x+1)
-x+1>=5x+5
-6x>=4 |: (-6)
x>=-4/6=-2/3=> Lösung ]-2/3;1[
Fall b: x+1<0 => x<-1
-x-1<=5x+5
-6x<=6
x>=-1 keine Lösung
=> L={x|-2/3<x<1}
mfg Lerny |
manu
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 00:34: |
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hallo lerny,
hier ist nochmal manu - erst mal danke für deine hilfe.
ich hab da allerdings noch ne frage:
auch wenn es für dich vielleicht simpel klingt - kannst du mir bitte sagen warum du im 2. fall noch eine fallunterscheidung (a.+ b.)vorgenommen hast und im 1. fall nicht, hier blicke ich noch nicht ganz durch
mfg manu |
Unequalizer
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 03:08: |
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Hallo lerny, ich weiß nicht, wie du auf x Î ]-2/3;1[ kommst. Für mich gehört x=-2/3 auch zur Lösung der Ungleichung |x-1|/(x+1) ³ 5, alle x > -2/3 hingegen nicht.
Hallo manu, aus x-1 ³ 0 folgt nicht nur x ³ 1, es zieht auch sofort nach sich, dass x+1 ³ 2 > 0, also x+1 > 0 ist, damit gehen beide Aussagen "in dieselbe Richtung", im Gegensatz zu x-1 £ 0, wo nicht klar ist, ob dann x+1 < 0 oder 0 < x+1 ( £ 2) gilt. Deshalb muss beim zweiten Fall nochmal eine Unterscheidung gemacht werden.
Mach doch einfach immer gleich zu Anfang eine Unterteilung in alle zu unterscheidenden Bereiche:
1) x < -1
2) -1 < x < 1
3) 1 £ x
1) x < -1 |-1 => x-1 < -2 < 0, also x-1 < 0
und x < -1 |+1 => x+1 < 0
also sind Ausdruck in Betragsstrichen und Nenner negativ, beim Weglassen der Betragsstriche kehren sich die Vorzeichen dieses Ausdruckes um:
|x-1| /(x+1) ³ 5
=> (-x+1)/(x+1) ³ 5 |*(x+1) beim Multiplizieren mit dem (negativen) Nenner kehrt sich Relationszeichen um:
=> -x+1 £ 5x+5 |+x-5
=> -4 £ 6x |:6
=> -2/3 £ x
Zusammen mit der Eingangsbedingung x < -1 ergibt sich die leere Menge als Teilbereich der Lösung
2) -1 < x < 1, also -1 < x und x < 1
<=> 0 < x+1 und x-1 < 0,
|x-1|/(x+1) ³ 5
=> (-x+1)/(x+1) ³ 5 |*(x+1)
=> -x+1 ³ 5x+5 |+x-5
=> -4 ³ 6x |:6
=> -2/3 ³ x
Zusammen mit -1 < x < 1 ergibt sich hier -1 < x £ -2/3
3) 1 £ x
=> x+1 > 0 und x-1 ³ 0
|x-1|/(x+1) ³ 5
=> (x-1)/(x+1) ³ 5 |*(x+1)
=> x-1 ³ 5x+5 |-x-5
=> -6 ³ 4x
=> -3/2 ³ x
Einen Überschneidungsbereich mit der Eingangsbedingung ergibt dies nicht (hier sind alle erhaltenen x negativ, in der Eingangsbedingung aber positiv), also wieder leere Menge.
Fasst man alle in 1-3 erhaltenen TeilLösungsmengen in einer Lösungsmenge zusammen, indem man die Vereinigungsmenge bildet, ergibt sich IL={xÎIR | -1 < x £ -2/3 }
widrige Hardwareprobleme verhinderten eine frühere Antwort... |
Lerny
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 08:52: |
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Hi Unequalizer
hast recht, hab beim 2. Fall unter a) einen ganz dummen Fehler gemacht. Hab beim Dividieren durch eine negative Zahl vergessen das Ungleichheitszeichen umzudrehen. Sorry.
mfg Lerny |
manu
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 17:03: |
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ein dickes danke an unequalizer für deine näheren erklärungen
ich hoffe wenn ich mich mit deinen erklärungen näher befasse wird mir einiges klarer.... |
manu
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 18:17: |
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hier nochmal manu
hallo unequalizer, ich weiss deine erklärungen zu schätzen -
dies versteh ich leider immer noch nicht:
unequalizer schreibt:
1.Fall:
aus x-1>= 0 folgt x>=1 =========> Okay
aus x-1>= 0 folgt x+1>=2>0 =====> wieso?
danke im voraus
manu |
manu
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 19:32: |
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nachtrag:
wie macht man sich am besten/einfachsten/schnellsten die verschiedenen fälle klar? |
Unequalizer
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 21:20: |
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Hallo manu,
aus x-1>= 0 folgt x+1>=2>0, wenn man 2 auf beiden Seiten addiert:
x-1>= 0 |+2
x-1+2>=0+2
x+1>=2, und 2 ist nunmal größer als Null, also auch
x+1>=2>0
x+1 > 0
Fälle müssen immer dort unterschieden werden, wo ein Ausdruck sich im Nenner oder im Betrag oder sonstwo relevantem (z.B. in einer später auf beiden Seiten zu multiplizierenden oder dividierenden Klammer) das Vorzeichen ändert, wenn x einen bestimmten Wert passiert, siehe hier
Das geschieht nunmal, wenn der Ausdruck die Grenze von negativ nach positiv überschreitet, also wo er Null ist.
mehr Beispiele siehe hier |
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