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Jörg
| Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juli, 2001 - 17:12: |
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Hallo, ich möcht gern wissen, ob man die Dreiecksungleichung |a+b| <= |a| + |b| beweisen kann oder ob man die glauben muss. Auf http://pa01.asn-sbg.ac.at/ha/cabri/details.asp?blattID=37 und auf http://www.cti.ac.at/~pester/Stoecker/daten/part_1/node57.htm habe ich zwar schöne Bilder gefunden, die das ganze veranschaulichen, aber kann man das auch rein rechnerisch beweisen? |
Fern
| Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juli, 2001 - 17:55: |
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Hallo Jörg, |x + y| £ |x| + |y| ================== Beweis: - |x| £ x £ |x| - |y| £ y £ |y| === wir addieren diese beiden Ungleichungen: -(|x| + |y|) £ x + y £ |x| + |y| Setzt man x + y = z und |x| + |y| = a so lautet die Doppelungleichung: -a £ z £ a das heißt es ist: |z| £ a also: |x + y| £ |x| + |y| ...... qed =========================================== |
Jörg
| Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juli, 2001 - 20:35: |
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:-) Ja, so gehts, danke für die gute Erläuterung! Ist vielleicht meine andere Frage auf http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/14156.html auch so gut zu erklären? |
Fern
| Veröffentlicht am Montag, den 23. Juli, 2001 - 15:22: |
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Hallo Jörg, Hallo Jörg, Ich zeige die 2. Ungleichung von Anna: |x - y| ³ | |x| - |y| | ============================ Wie gehen aus von der Dreiecksungleichung (Beweis siehe oben): |x + y| £ |x| + |y| daraus ergibt sich: |x + y| - |y| £ |x| wir setzen: u=x+y und v=y |u| - |v| £ |u - v|......da dies für alle u und v gilt, können wir die Buchstaben vertauschen, also: |v| - |u| £ |v - u| = |u - v| (das letzte Gleichheitszeichen weil: |v-u| = |-(v-u| =|u-v| ) Die beiden blauen Ungleichungen: |u| - |v| £ A |v| - |u| £ A.......wobei A nichtnegative Zahl. daraus folgt: es muss auch | |u| - |v| | £ A sein. Statt den Buchstaben u und v schreiben wir x und y und unser A=|u -v| also: | |x| - |y| | £ |x - y|..........qed ================================= |
Jörg
| Veröffentlicht am Montag, den 23. Juli, 2001 - 20:50: |
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Hallo, vielen Dank für die Erklärung. Und wenn man darin wieder y durch -y ersetzt, erhält man die dritte Ungleichung | |x| - |y| | £ |x+y| Also gelten: | |x| - |y| | £ |x+y| | |x| - |y| | £ |x-y| oder zusammengefasst in einer: | |x| - |y| | £ |x±y| sowie von oben her schon |x + y| £ |x| + |y| und wenn man wieder y durch -y ersetzt, auch |x - y| £ |x| + |y| oder zusammen in einer: |x ± y| £ |x| + |y| und die zusammengefassten wiederum in einer einzigen zusammengefasst: | |x| - |y| | £ |x±y| £ |x| + |y| So, das war hoffentlich richtig. Ist jetzt alles komplett? Nochmals vielen Dank |
Fern
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juli, 2001 - 17:29: |
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Hallo Jörg, Ja, das scheint alles richtig zu sein. Aber was ist schon komplett? z.B. gilt auch: |x - y| ³ |x| -|y| und last not least: |a1+a2+a3+........an| £ |a1| + |a2| + |a3| + ....... |an| =========================================== Gruß, Fern |
Jörg
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juli, 2001 - 19:51: |
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Danke, Fern. Gruß, Jörg |
Jörg
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juli, 2001 - 20:06: |
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Die Frage nach "komplett" war etwas doof. Mir ist noch was eingefallen. Die letzte Doppelungleichung kann man ja auch wieder aufdröseln: | |x| - |y| | £ |x±y| £ |x| + |y| wird zu | |x| - |y| | £ |x±y| und |x±y| £ |x| + |y| Und wenn man will, kann man die äußeren (roten) Betragsstriche vom linken (nie größeren) Term jeweils weglassen. Dann ergibt sich auch |x| - |y| £ |x±y| und damit |x| - |y| £ |x-y| Das andere mit den vielen a's, ist kein Problem mehr, denke ich. Man muss in der allerersten Dreiecksungleichung nur x durch a1 und y durch a2+a3 ersetzen und mit a2+a3 nochmal, und das solange weitermachen, bis man die notwendige Anzahl a's zusammen hat. Aber das aufzuschreiben ist eine andere Geschichte. Viele liebe Grüße Jörg |
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