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explizite summenformel

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Widi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 01:18:   Beitrag drucken

gibts sowas?
und zwar, wenn ich die quadratzahlen zusammenzählen will:
1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2
Gibts dafür eine Formel, dass ich einfach nur n einsetzen muss und ich bekomme das ergebnis(gleichbleibende Formel und nicht x^n-1+x^n-3,... ihr wissts scho was i mein, kein Horner oder so)
Für eine Lösung wär ich echt dankbar, wir haben uns schon mehrere Stunden darüber den Kopf zerbrochen.
Bin auch zufrieden, wenn mir jemand einen Beweis gibt warum es keine Formel geben kann!
Danke(im vorraus)
Widi
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Martin (martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: martin243

Nummer des Beitrags: 652
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 07:09:   Beitrag drucken

Hi Widi!

So etwas gibt es tatsächlich und die Formel lautet für eine natürliche Zahl n:

S(n) = n(n+1)(2n+1)/6

Beweis, dass es geht:

Induktionsanfang: n = 1
S(1) = 1(1+1)(2+1)/6 = 1*2*3/6 = 1 = 1²
stimmt

Induktionsvoraussetzung: S(n)=n(n+1)(2n+1)/6

Induktionsschritt: n ® n+1
S(n+1) = (n+1)(n+1+1)(2n+2+1)/6

= (n+1)(n+2)(2n+3)/6

= n(n+2)(2n+3)/6 + (n+2)(2n+3)/6

= n(n+1)(2n+3)/6 + (n+2)(2n+3)/6 + n(2n+3)/6

= n(n+1)(2n+1)/6 + (2n+2)(2n+3)/6 + 2n(n+1)/6

= n(n+1)(2n+1)/6 + (2n+2)(2n+3)/6 + n(2n+2)/6

= n(n+1)(2n+1)/6 + (2n+2)(3n+3)/6

= n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)(3n+3)/3

= n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)(n+1)

= S(n) + (n+1)² q.e.d.


Also stimmt die Formel für alle natürlichen Zahlen.
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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Robert (emperor2002)
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Mitglied
Benutzername: emperor2002

Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 12:46:   Beitrag drucken

Wenn du noch gerne wissen willst, wie man diese Formel herleitet kann ich dir die Herleitung gerne posten

MFG
Robert
Robert Klinzmann
Schüler des EHGs
mailto: Emperor2002@Web.de
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STEVENERKEL
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 17:29:   Beitrag drucken

Hallo Robert,
da ich bisher noch keine Herleitung bzgl. dieser Formel gesehen hab, wär ich an dieser auch interessiert; sofern es keine Umstände macht ?!

Freundliche Grüße
STEVENERKEL

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