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Beitrag |
    
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 06:58: | 
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Heute möchte ich eine weitere faszinierende Zahlentierfamilie auf Integer-Island vorstellen.
Der Siebenteiler gehört zur Gruppe der Teilervögel (lat. Aves divisori). Alle Teilervögel nisten in großen Kolonien und ernähren sich ausschließlich von Zahlenpaaren mit einer besonderen Eigenschaft (daher ihr Name): N-Teiler fressen nur Zahlenpaare, bei denen eine bzw. beide Zahlen durch N teilbar sind, oder wo zumindest die Summe oder Differenz der beiden Zahlen durch N teilbar ist.
a) Siebenteiler bevorzugen Pythagoräische Zahlenbäume als Futterplatz. Die Früchte dieser Bäume bestehen aus den ganzzahligen Seitenlängen rechtwinkliger Dreiecke. Mit ihrem scharfen Schnabel entfernen die Vögel geschickt die Hypothenuse und verschlingen mit sichtlichem Genuß die Kathetenlängen. Es wurde noch nie beobachtet, dass ein solches Kathetenpaar für die Vögel ungenießbar gewesen wäre. "Ist das Zufall?", notierte Prof. Tölpel in sein Tagebuch. Bisher konnte kein Zahlentierforscher diese Frage restlos klären.
b) Es gibt glaubhafte Berichte, wonach neben dem anspruchslosen Zwei- und dem Siebenteiler auch noch andere N-Teiler die Pythagoräischen Zahlenbäume als Hauptnahrungsquelle nutzen. Eine vollständige Klassifizierung und formale Beweise stehen aber noch aus.
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SpockGeiger (spockgeiger)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 487
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 14:01: |
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Hi sol@ti
Ich möcht auch nochmal anmerken, dass die Aufgaben sehr schön verpackt sind.
Es ist kein Zufall, dazu rechne ich von hier an nur noch modulo 7, die Gleichheitszeichen sollen Kongruenzen sein (bin heut faul;)
Zu zeigen ist also a=0 oder b=0 oder a+b=0 oder a-b=0
Nehmen wir also an, a,b¹0. Modulo 7 gibt es (außer 0) nur die Quadrate 1,2,4, also a²,b²=1,2 oder 4. Aber auch a²+b² ist ein Quadrat, also 1,2,4 oder 0. Das geht aber nur, wenn a²=b²=1 oder a²=b²=2 oder a²=b²=4, also auf jeden Fall a²=b², woraus folgt a=b oder a=-b, wie behauptet.
Zu der Verallgemeinerung hab ich mir noch keine Gedanken gemacht.
viele Grüße
SpockGeiger |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 08:43: |
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Hi SpockGeiger!
Mann, seid ihr gut. Erst Martin, jetzt du. Also wenn Aufgabe b) auch noch jemand schafft, sehe ich mich gezwungen meine höchste Trumpfkarte zu spielen: "Prof. Tölpels letzter Satz" !
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Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 654
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 10:13: |
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Hi sol@ti!
Mal ueberlegen:
Wir suchen also Zahlen N, fuer die gilt:
N|a oder N|b oder N|(a+b) oder N|(a-b)
=> a2 + b2 ist ein ganzzahliges Quadrat
Also dadurch, dass alle N-Teiler die kleinste Frucht der Pythag. Zahlenbaeume verdauen muessen, kommen fuer N nur die Moeglichkeiten:
1, 2, 3, 4 und 7
in Frage.
2- und 7-Teiler sind bereits klar, die Trivialteiler (N=1) sind eh Allesfresser, also nur noch: 3 und 4
Es gibt ja die schoene Formel von Diophantos von Alexandria, die besagt, dass man alle primitiven Pyth. Zahlentripel (a,b,c) erzeugen kann aus teilerfremden m,n aus N mit (m-n) ungerade mit Hilfe dieser Formel:
a=2mn , b=m2 - n2 , c=m2 + n2
Wir betrachten hier nur a und b, die zu Pyth. Zahlentripeln gehoeren.
Fuer 3-Teiler:
Ich behaupte:
In jedem PZ (Pyth. Zahlentripel) ist entweder a oder b oder a+b oder |a-b| durch 3 teilbar.
Beweis:
Wenn (o.B.d.A.) m ein Vielfaches von 3 ist, dann ist der Fall klar, dann ist naemlich a auch ein Vielfaches von 3.
Wenn a kein Vielfaches von 3 und (o.B.d.A) m von der Form m=3p+1 ist, dann gilt
- fuer n=3q+1:
b = (3p+1)2 - (3q+1)2 = 3(3p2 + 3q2 + 2p + 2q)
also: b ein Vielfaches von 3
- fuer n=3q+2:
b = (3p+1)2 - (3q+2)2 = 3(3p2 + 3q2 + 2p + 4q - 1)
also: b ein Vielfaches von 3
Die restlichen Faelle ergeben sich durch Vertauschen von m und n.
Also ist auf jeden Fall jede Frucht eines Pyth. Zahlenbaums geeignet fuer 3-Teiler.
Fuer 4-Teiler:
a=2mn ist auf jeden Fall gerade.
Wenn m oder n auch gerade ist, dann ist a ein Vielfaches von 4, also geeignet.
Seien nun m=2p+1 und n=2q+1.
Dann gilt fuer b:
b = (2p+1)2 - (2q+1)2 = 2(2p2 - 2q2 + 2p - 2q)
also: b ein Vielfaches von 4
Demnach sind alle Fruechte des Pyth. Zahlenbaums auch fuer den 4-Teiler geeignet.
Alle anderen N-Teiler fressen die Fruechte immer mit einem gewissen Risiko.
Ich habe oben nur primitive PZ behandelt, weil sich die anderen als Vielfache daraus ergeben.
Dann lass uns mal die ganze Insel erobern!!!
Wie lautet Toelpels letzter Satz???
MfG
Martin
(Beitrag nachträglich am 23., Mai. 2002 von martin243 editiert)
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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murray (murray)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 11:48: |
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Hallo,
mir drängt sich dabei doch eine Frage auf:
Wieso kann N nur (1,2,3,4,7) sein?
murray |
SpockGeiger (spockgeiger)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 489
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 15:30: |
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Hi murray
Weil (3,4,5) pythagoräisch ist.
@Martin: Gute Arbeit, aber muss in der Behauptung die Folgerung nicht in die andere Richtung gehen?
viele Grüße
SpockGeiger |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 655
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 17:47: |
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Wieso?
Ich sage doch, wenn a und b vom Pyth. Zahlenbaum kommen, also zu einem PZ gehören, dann sind sie (oder eine Kombination wie oben beschrieben) durch 3 teilbar, also für 3-Teiler genießbar.
Dann sage ich, all diese Zahlen haben die Form 2mn oder m²-n².
Schließlich zeige ich, dass ich so immer Zahlen erhalte, die durch 3 teilbar sind.
Ich verstehe deinen Einwand nicht. Könntest du genauer werden?
MfG
Martin
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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SpockGeiger (spockgeiger)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 490
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 18:11: |
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Hi Martin
Ich meine den Anfang:
N|a oder N|b oder N|(a+b) oder N|(a-b)
=> a2 + b2 ist ein ganzzahliges Quadrat
viele Grüße
SpockGeiger |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 656
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 19:15: |
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Ach so!
Ja, das war wohl andersherum gedacht...
Aber ist das Ganze nicht sogar äquivalent?
Dank mal für mich mit!
MfG
Martin
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Galileo Galilei
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Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 659
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 17:17: |
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... das sollte heißen:
"Denk mal für mich mit!"
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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