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Nadine
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Juli, 2005 - 13:57: | 
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Hallo...kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen??!!
Sei f:S^2 Pfeil R die folgende Funktion:
f(x,y,z) = x + Wurzel 3y.
Berechnen Sie kritische Punkte von f auf S^2. Welche sind Minima, welche sind Maxima und welche weder Max noch Min.
Wäre nett von euch
glg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1860
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Juli, 2005 - 16:20: |
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Hallo Nadine
Ich nehme an S^2 ist die 2-SphÜre. Wir benutzen die Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Definiere dazu zunÜchst die Funktion
g(x,y,z):=x^2+y^2+z^2-1
Offenbar ist dann g^(-1)({0})=S^2, also beschreibt g im Prinzip unsere Nebenbedingung bzw. Definitionsmenge der Funktion. Ein Punkt ist kritisch, wenn es eine Zahl l gibt, so dass
¶f/¶x=l¶g/¶x
¶f/¶y=l¶g/¶y
¶f/¶z=l¶g/¶z
gilt.
Das rechnen wir erstmal aus:
1=l*2x
3/(2sqrt(3y))=l*2y
0=l*2z
Aus der letzen Gleichung folgt l=0 oder z=0. Ersteres kann nicht sein, weil das sofort der ersten Gleichung widerspricht, also gilt z=0. Auch folgt aus den Gleichungen sofort x¹0 und y¹0 und damit l=1/(2x)
Nun befinden wir uns auf der SphÜre, also gilt
x=±sqrt(1-y^2) [z=0]
Betrachte zunÜchst den Fall "+". Dann ist
l=1/(2sqrt(1-y^2))
Das setzen wir in Gleichung zwei ein:
3/(2sqrt(3y))=1/(2sqrt(1-y^2))*2y
<=> 3sqrt(1-y^2)=2y*sqrt(3y)
Die Gleichung musst du jetzt nach y auflÜsen. Laut Maple gilt
y=1/4*(23+4*sqrt(33))^(1/3)+1/4*1/((23+4*sqrt(33))^(1/3))-1/4
~0,715
=> x=sqrt(1-y^2)~0,699
=> f(x,y,z)~2,164
Wenn du mit x=-sqrt(1-y^2) rechnest erhÜltst du Übrigens den gleichen Punkt.
Uns fehlt oben noch ein Fall. Und zwar kann y=0 sein. An der Stelle y=0 ist ¶f/¶y nicht definiert. Also kÜnnen wir hier die Methode der Lagrange-Multiplikatoren nicht anwenden.
ist y=z=0, so folgt x=1 und daraus f(x,y,z)=1.
Der Wert ist offenbar kleiner als der Wert oben.
Nun haben wir zwei Punkte, die Extrema sein kÜnnen. Und das sind sie auch tatsÜchlich, denn S^2 ist eine kompakte Menge und f ist stetig. Also muss f Maximum und Minimum auf S^2 annehmen.
MfG
Christian |
Nadine
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juli, 2005 - 08:46: |
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Echt vielen Dank..hast dir viel Mühe gegeben..DANKE
glg |
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