Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

kritische Punkte berechnen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Sonstiges » kritische Punkte berechnen « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Nadine
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Juli, 2005 - 13:57:   Beitrag drucken

Hallo...kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen??!!
Sei f:S^2 Pfeil R die folgende Funktion:
f(x,y,z) = x + Wurzel 3y.
Berechnen Sie kritische Punkte von f auf S^2. Welche sind Minima, welche sind Maxima und welche weder Max noch Min.
Wäre nett von euch
glg
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Christian_s (Christian_s)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1860
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Juli, 2005 - 16:20:   Beitrag drucken

Hallo Nadine

Ich nehme an S^2 ist die 2-SphÜre. Wir benutzen die Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Definiere dazu zunÜchst die Funktion
g(x,y,z):=x^2+y^2+z^2-1
Offenbar ist dann g^(-1)({0})=S^2, also beschreibt g im Prinzip unsere Nebenbedingung bzw. Definitionsmenge der Funktion. Ein Punkt ist kritisch, wenn es eine Zahl l gibt, so dass
f/x=lg/x
f/y=lg/y
f/z=lg/z
gilt.
Das rechnen wir erstmal aus:
1=l*2x
3/(2sqrt(3y))=l*2y
0=l*2z
Aus der letzen Gleichung folgt l=0 oder z=0. Ersteres kann nicht sein, weil das sofort der ersten Gleichung widerspricht, also gilt z=0. Auch folgt aus den Gleichungen sofort x¹0 und y¹0 und damit l=1/(2x)
Nun befinden wir uns auf der SphÜre, also gilt
x=±sqrt(1-y^2) [z=0]
Betrachte zunÜchst den Fall "+". Dann ist
l=1/(2sqrt(1-y^2))
Das setzen wir in Gleichung zwei ein:
3/(2sqrt(3y))=1/(2sqrt(1-y^2))*2y
<=> 3sqrt(1-y^2)=2y*sqrt(3y)
Die Gleichung musst du jetzt nach y auflÜsen. Laut Maple gilt
y=1/4*(23+4*sqrt(33))^(1/3)+1/4*1/((23+4*sqrt(33))^(1/3))-1/4
~0,715
=> x=sqrt(1-y^2)~0,699
=> f(x,y,z)~2,164
Wenn du mit x=-sqrt(1-y^2) rechnest erhÜltst du Übrigens den gleichen Punkt.
Uns fehlt oben noch ein Fall. Und zwar kann y=0 sein. An der Stelle y=0 ist f/y nicht definiert. Also kÜnnen wir hier die Methode der Lagrange-Multiplikatoren nicht anwenden.
ist y=z=0, so folgt x=1 und daraus f(x,y,z)=1.
Der Wert ist offenbar kleiner als der Wert oben.
Nun haben wir zwei Punkte, die Extrema sein kÜnnen. Und das sind sie auch tatsÜchlich, denn S^2 ist eine kompakte Menge und f ist stetig. Also muss f Maximum und Minimum auf S^2 annehmen.

MfG
Christian
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Nadine
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juli, 2005 - 08:46:   Beitrag drucken

Echt vielen Dank..hast dir viel Mühe gegeben..DANKE
glg

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page