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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4430
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 2004 - 09:37: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 472 soll die Gleichung einer Parabel gesucht werden.
Das Verfahren ist freigestellt: es dürfen auch mehrere Lösungsideen
zum Zuge kommen!
Von der Parabel sind zwei Tangenten mit den zugehörigen
Berührungspunkten gegeben.
Erste Tangente: die x-Achse, Berührpunkt U(- ½ a / 0).
Zweite Tangente: die Gerade y = x, Berührpunkt V( a / a).
a ist eine gegebene, von null verschiedene Konstante.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4431
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 2004 - 13:17: |
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Hi allerseits
Als Zusatzaufgabe zur Aufgabe LF 472 berechne man
die Koordinaten des Scheitels der Parabel im Fall a = 4.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1608
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 2004 - 13:19: |
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Hi megamath,
ich erhalte zwei Lösungen...
Einmal unsere bekannte Parabel:
4x^2 - 4xy + y^2 + 4ax - 6ay + a^2 = 0
Und dazu:
4x^2 - 12xy + 9y^2 + 4ax - 6ay + a^2 = 0
das kann man umformen zu:
(2x - 3y + a)^2 = 0
Der Term in der Klammer ist aber gerade die Verbindungsgerade der Berührpnukte U und V!
Mein Lösungsweg:
P : Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
Dann habe ich die Angaben verbraten:
I) U liegt auf P
II) V liegt auf P
III) P berührt die x-Achse in U: y'(U) = 0
IV) P berührt y=x in V : y'(V) = 1
V) AC - B^2 = 0
VI) F = 1 [ von mir festgesetzt ]
V) ist von der Hauptachsentransformation bekannt! Ist dieser Term null so liegt eine Parabel vor!
Ich erhalte nun:
I) A = 4/a^2 , B = -2/a^2 , C = 1/a^2 , D = 2/a , E = -3/a , F = 1
II) A = 4/a^2 , B = -6/a^2 , C = 9/a^2 , D = 2/a , E = -3/a , F = 1
Mich wundert nur die zweite Lösung, die Gerade durch U und V , oder war die zu erwarten??
mfg
PS: Zusatzaufgabe[ hab ich grad erst gesehen]:
Scheitel S ( (-17/25)*a | (1/25)*a )
Also für a = 4
S ( -68/25 | 4/25 )
(Beitrag nachträglich am 23., September. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4432
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 2004 - 14:38: |
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Hi Ferdi
Du hast diese Aufgabe sehr souverän gelöst!
Selbst die zweite Lösung ist algebraisch korrekt.
Als degenerierter KS nehmen wir die Doppelgerade
allerdings nicht als Lösung an.
Die Koordinaten des Scheitels sind ok!
Es gibt eine sehr schöne konstruktive Lösung mit Brianchon,
an die man eine kleine Rechnung anhängen kann.
Man erhält dann sofort die Steigung 2 der Parabelachse.
Probiere es einmal!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1611
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 2004 - 18:05: |
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Hi megamath,
ich bin jetzt schon länger auf der Suche nach einer möglichen Konstruktion.
Ich hatte zu Beginn schon gedacht, diese Aufgabe sei mit Brianchon / Pascal zu lösen, mir fehlte aber der Ansatz.
Man kann damit ja nur Berührpunkte bzw. Tangenten konstruieren und nicht ganze Kegelschnitte.
Oder führt man wieder einen Parameter ein?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4437
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 2004 - 20:49: |
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Hi Ferdi
Du hast prinzipiell Recht; auf eine Gleichung der gesuchten
Parabel kommen wir mit dem Verfahren nach
Brianchon nicht, jedenfalls nicht auf Anhieb.
Gleichwohl:
die Achsenrichtung findet man leicht, und das ist
immerhin ein Anfang.
Ich habe a = 4 gewählt.
Dann kommt für U: xU = -2, yU = 0, für V : xV = 4, yV = 4.
Nummerierung:
x-Achse mit U : 1 ,2
Gerade y = x mit V: 3 , 4
unendlich ferne Gerade e inf
mit unendlich fernem Punkt K inf der Achse: 5 , 6.
Schnittpunkte
1-2:H = U
4-5:I = unendlich ferner Punkt von y = x
Verbindungsgerade q = HI: Parallele durch U zu y = x.
3-4:L = V
4-5:M = unendlich ferner Punkt von y = 0
Verbindungsgerade s = HI: Parallele durch V zu y = 0.
q und s schneiden sich im Brianchonpunkt Br (2/4)
usw.
2-3: J = Nullpunkt
5-6: K = K inf. auf J Br ergibt die Achsenrichtung JK :
Steigung m von JBr = 2.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1613
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. September, 2004 - 13:43: |
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Hi megamath,
das Wochenende ist da. Leider werde ich auch diesmal nicht zu Konstruktion oder Berechnungen kommen!
Verschieben wir das auf Montag!
Mit wochenendlichen Grüßen |
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