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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4430 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 2004 - 09:37: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 472 soll die Gleichung einer Parabel gesucht werden. Das Verfahren ist freigestellt: es dürfen auch mehrere Lösungsideen zum Zuge kommen! Von der Parabel sind zwei Tangenten mit den zugehörigen Berührungspunkten gegeben. Erste Tangente: die x-Achse, Berührpunkt U(- ½ a / 0). Zweite Tangente: die Gerade y = x, Berührpunkt V( a / a). a ist eine gegebene, von null verschiedene Konstante. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4431 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 2004 - 13:17: |
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Hi allerseits Als Zusatzaufgabe zur Aufgabe LF 472 berechne man die Koordinaten des Scheitels der Parabel im Fall a = 4. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1608 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 2004 - 13:19: |
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Hi megamath, ich erhalte zwei Lösungen... Einmal unsere bekannte Parabel: 4x^2 - 4xy + y^2 + 4ax - 6ay + a^2 = 0 Und dazu: 4x^2 - 12xy + 9y^2 + 4ax - 6ay + a^2 = 0 das kann man umformen zu: (2x - 3y + a)^2 = 0 Der Term in der Klammer ist aber gerade die Verbindungsgerade der Berührpnukte U und V! Mein Lösungsweg: P : Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 Dann habe ich die Angaben verbraten: I) U liegt auf P II) V liegt auf P III) P berührt die x-Achse in U: y'(U) = 0 IV) P berührt y=x in V : y'(V) = 1 V) AC - B^2 = 0 VI) F = 1 [ von mir festgesetzt ] V) ist von der Hauptachsentransformation bekannt! Ist dieser Term null so liegt eine Parabel vor! Ich erhalte nun: I) A = 4/a^2 , B = -2/a^2 , C = 1/a^2 , D = 2/a , E = -3/a , F = 1 II) A = 4/a^2 , B = -6/a^2 , C = 9/a^2 , D = 2/a , E = -3/a , F = 1 Mich wundert nur die zweite Lösung, die Gerade durch U und V , oder war die zu erwarten?? mfg PS: Zusatzaufgabe[ hab ich grad erst gesehen]: Scheitel S ( (-17/25)*a | (1/25)*a ) Also für a = 4 S ( -68/25 | 4/25 ) (Beitrag nachträglich am 23., September. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4432 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 2004 - 14:38: |
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Hi Ferdi Du hast diese Aufgabe sehr souverän gelöst! Selbst die zweite Lösung ist algebraisch korrekt. Als degenerierter KS nehmen wir die Doppelgerade allerdings nicht als Lösung an. Die Koordinaten des Scheitels sind ok! Es gibt eine sehr schöne konstruktive Lösung mit Brianchon, an die man eine kleine Rechnung anhängen kann. Man erhält dann sofort die Steigung 2 der Parabelachse. Probiere es einmal! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1611 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 2004 - 18:05: |
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Hi megamath, ich bin jetzt schon länger auf der Suche nach einer möglichen Konstruktion. Ich hatte zu Beginn schon gedacht, diese Aufgabe sei mit Brianchon / Pascal zu lösen, mir fehlte aber der Ansatz. Man kann damit ja nur Berührpunkte bzw. Tangenten konstruieren und nicht ganze Kegelschnitte. Oder führt man wieder einen Parameter ein? mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4437 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 2004 - 20:49: |
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Hi Ferdi Du hast prinzipiell Recht; auf eine Gleichung der gesuchten Parabel kommen wir mit dem Verfahren nach Brianchon nicht, jedenfalls nicht auf Anhieb. Gleichwohl: die Achsenrichtung findet man leicht, und das ist immerhin ein Anfang. Ich habe a = 4 gewählt. Dann kommt für U: xU = -2, yU = 0, für V : xV = 4, yV = 4. Nummerierung: x-Achse mit U : 1 ,2 Gerade y = x mit V: 3 , 4 unendlich ferne Gerade e inf mit unendlich fernem Punkt K inf der Achse: 5 , 6. Schnittpunkte 1-2:H = U 4-5:I = unendlich ferner Punkt von y = x Verbindungsgerade q = HI: Parallele durch U zu y = x. 3-4:L = V 4-5:M = unendlich ferner Punkt von y = 0 Verbindungsgerade s = HI: Parallele durch V zu y = 0. q und s schneiden sich im Brianchonpunkt Br (2/4) usw. 2-3: J = Nullpunkt 5-6: K = K inf. auf J Br ergibt die Achsenrichtung JK : Steigung m von JBr = 2. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1613 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. September, 2004 - 13:43: |
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Hi megamath, das Wochenende ist da. Leider werde ich auch diesmal nicht zu Konstruktion oder Berechnungen kommen! Verschieben wir das auf Montag! Mit wochenendlichen Grüßen |
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