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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4182
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juni, 2004 - 12:35: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 422 gibt einiges zu tun;
sie soll uns das Wochenende verkürzen helfen.
Die Aufgabe lautet.
Von einer Hyperbel kennt man die beiden Asymptoten a1 und a2,
sowie einen Punkt P.
Daten:
a1: 3x - 4 y = 0
a2: 12 x + 5 y = 0
P(5/0)
Jemand behauptet, dass die folgende Relation zwischen den Halbachsen
der Hyperbel gelte:
13 * a^2 * b^2 - 180 * (a^2 + b^2) = 0
a)
Man beweise diese Behauptung mit Hilfe eines bekannten Satzes ueber die
Asymptoten einer Hyperbel.
b)
Man berechne die einzelnen Werte a und b.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1443
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juni, 2004 - 13:38: |
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Hi megamath,
soll es so sein:
a = 30/7 * sqrt(2)
b = 10/3 * sqrt(2)
Ich kann die Relation leider nicht herleiten, dafür aber die Hyperbelgleichung:
-36*x^2 + 33*x*y + 20*y^2 = -900
Ich bin dabei so vorgegangen:
Die Steigungen der Hyperbel ergeben sich als Grenzwert x -> inf für (y/x) wenn man in der Hyperbelgleichung durch x^2 dividiert!
Hier
m1 = 3/4 , m2 = -12/5
m^2 + 33/20m - 9/5 = 0
20m^2 + 33m - 36 = 0
20(y/x)^2 + 33(y/x) - 36 = D/x^2
-36x^2 + 33yx + 20y^2 = D
Durch P(5/0) ==> D = -900
Wenn du mir einen Tipp gibst welchen Satz du meinst könnte ich es damit auch mal versuchen...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4183
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juni, 2004 - 15:24: |
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Hi Ferdi
Die Halbachsen sind richtig !
Der involvierte Satz folgt demnaechst.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4185
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juni, 2004 - 15:39: |
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Hi Ferdi
Der erwaehnte Satz ueber Asymptoten lautet:
das Produkt der Abstaende eines Punktes der Hyperbel
von den Asymptoten ist konstant.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4188
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juni, 2004 - 11:49: |
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Hi allerseits
Es folgt die Loesung der Teilaufgabe a)
Wir bestimmen zuerst die Konstante im erwaehnten Satz
ueber die Asymptoten einer Hyperbel.
Die Halbachsen der Hyperbel sind a und b; mit der
linearen Exzentrizitaet e ergibt sich fuer einen Scheitel der
Hyperbel aus einer Handskizze sofort:
das Produkt der Abstände d1,d2 dieses speziellen Punktes
von den Asymptoten ist
d1*d2 = ( a b / e ) * ( a b / e ) = a^2 * b^2 / e^2.
Somit gilt:
das Produkt der Abstaende eines beliebigen Punktes der Hyperbel
von den Asymptoten betraegt
d1 * d2 = a^2 * b^2 / e^2
Der Punkt P(5/0)
hat nach Hesse den Abstand d1 = 3 von a1 und
den Abstand d2 = 60/13 von a2.
Aus diesen Angaben folgt die erwaehnte Relation
13 * a^2 * b^2 - 180 * (a^2 + b^2) = 0.
Man bestaetigt die Richtigkeit durch Einsetzen der Werte
a^2 = 1800 / 49 und b^2 =200 / 9.
MfG
H.R.Moser,megamath
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