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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4179 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 16:39: |
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Hi allerseits Die Aufgabe LF 421 ist wiederum der Hyperbel gewidmet; sie lautet: Man berechne die Längen 2 k1 und 2 k2 zweier konjugierter Durchmesser der Hyperbel b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2, wenn die Gleichung y = mx eines Durchmessers vorliegt. Man bestimme auch die Differenz k1 ^ 2 - k2^2 MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1441 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 19:31: |
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Hi megamath, mal eine Frage: Die Schnittpunkt einer Geraden durch Ursprung ergeben sich als: x = a*b / sqrt(b^2 - a^2*m^2) y = m*a*b / sqrt(b^2 - a^2*m^2) Nimmt man jetzt aber die Gerade y = x und die Hyperbel mit a = 3 , b = 2, so gibt es keine Schittpunkte mit der man eine Länge berechnen könnte ( wohl aber beim konjugierten Durchmesser : y = 4/9*x )! Oder nutzt man hier den Satz: " Die Länge des Durchmessers ist gleich dem von den Asymptoten begrenzten Stück der ihm parallelen Hyperbeltangenten. " ?? mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4180 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 21:03: |
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Hi Ferdi Die Aufgabe kann und soll gerettet werden; das geht,wenn man mit der gegebenen Hyperbel die so genannte konjugierte Hyperbel betrachtet. Die Gleichung dieser zugeordneten Hyperbel lautet: -b^2*x^2 + a^2*y^2 = a^2 b^2 Dieser Hinweis fehlte leider in der Aufgabenstellung ! Mehr davon morgen! MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1442 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 23:08: |
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Hi megamath , ich glaube ich habe es verstanden! Hat die Differenz den schönen, von m unabhängigen Wert: k1^1 - k2^2 = a^2 - b^2 ?? Dann habe ich für die Längen: 2*k1 = 2*a*b*sqrt([1+m^2] / [b^2 - a^2*m^2]) 2*k2 = 2*sqrt([a^4*m^2 + b^4] / [b^2 - a^2*m^2]) Immer vorrausgesetzt: -b/a < m < b/a Für m = +-b/a erhalten wir die Asymptoten! Mir ist grade noch was aufgefallen : Ist es eigentlich so, dass eine Asymptote zu sich selbst der konjugierte Durchmesser ist?? Müsste ja so sein, da die Steigung m = b/a mit sich selbst multpliziert gerade b^2/a^2 ergibt. Ein wenig schwer vorzustellen, vielleicht liegts an der späten Stunde... mfg (Beitrag nachträglich am 19., Juni. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4181 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juni, 2004 - 08:39: |
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Hi Ferdi Deine Berechnungen und Gedankengänge sind richtig! Zum Thema: Die beiden Hyperbeln h1: b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2 h2: - b^2*x^2 + a^2*y^2 = a^2 b^2 gehören zusammen wie YIN und YAN (siehe bei Google nach)! Wir haben erfahren, dass sich die fuer die Ellipse gueltigen Saetze ueber konjugierte Halbmesser, die schon Apollonius bekannt waren, nicht ohne weiteres auf die Hyperbel uebertragen lassen. Benuetzt man die zu h1 konjugierte Hyperbel h2, so ist die Welt wieder in Ordnung; es gilt k1^ 2 – k2 ^2 = a^2 – b^2. Fuer die Hyperbel ist die Differenz der Quadrate konjugierter Halbmesser konstant. Diese Konstante a^2 – b^2 ist positiv fuer eine Hyperbel, die in den spitzen Winkelraeumen der Asymptoten liegt und negativ im andern Fall. Fuer eine gleichseitige Hyperbel (Normalhyperbel) ist diese Konstante null. Die Rolle der Asymptoten soll in einem spaetern Beitrag besprochen werden. MfG H.R.Moser,megamath
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