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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4162
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 07:33: | 
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Hi allerseits
Es folgen weitere Aufgaben zum Begriff der konjugierten Richtungen
bei Ellipsen.
Die Aufgabe LF 415 lautet:
Man beweise den Satz:
Verbindet man einen beliebigen Punkt einer Ellipse mit den
Endpunkten eines beliebigen Durchmessers der Ellipse, so sind
die Richtungen der dadurch entstandenen Sehnen konjugiert.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1148
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 12:17: |
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Hi,
dieser schöne Satz ist nicht schwer zu beweisen. Die Gleichung der Ellipse ist:
b²x² + a²y² = a²b²
Wir benützen die Eigenschaft der Steigungen m1 und m2 zweier konjugierter Durchmesser, bei welchen gilt:
m1*m2 = -b²/a² [dies folgt aus: m2 = -b²/(a²*m1)]
Die Endpunkte des konjugierten Durchmessers seien
P1(x1|y1) und P2(-x1|-y1),
der beliebige Punkt auf der Ellipse sei
Q(x|y).
Daraus berechnen wir
m1 = (y - y1)/(x - x1) und m2 = (y + y1)/(x + x1)
und schließlich das Produkt
m1*m2 = (y² - y1²)/(x² - x1²)
Nun muss gezeigt werden, dass dieses exakt gleich -b²/a² ist:
Dazu setzen wir sowohl P1 als auch Q in die Ellipsengleichung ein:
b²x² + a²y² = a²b² | Q € Ell
b²x1² + a²y1² = a²b² | P1 € Ell | subtr.
-------------------------------------------
b²*(x² - x1²) + a²(y² - y1²) = 0
- - >>
(y² - y1²)/(x² - x1²) = -b²/a²
somit gilt
m1*m2 = (y² - y1²)/(x² - x1²) = -b²/a²
q.e.d.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 15., Juni. 2004 von mythos2002 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4163
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 13:47: |
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Hi mYthos
Ich danke Dir fuer diesen ausgezeichneten Beitrag.
Der Satz selbst und die Beweismethode tragen
nostalgische Zuege.
Sie waeren zu Olims Zeiten auch nicht in der Sparte
Universitaetsniveau
zu platzieren gewesen, sondern etwas weiter unten.
Von Deiner Gleichung
m1*m2 = (y^2 - y1^2)/(x^2 - x1^2)
an koennte man mit der Parameterdarstellung
x = a cos t , y = b sin t
der Ellipse auch so vorgehen:
m1*m2 = (y + y1) (y - y1) / ((x + x1)(x - x1))
=(b^2/a^2)*[(sin t + sin t1)*[sin t - sin t1)] /
[(cos t + cos t1)*[(cos t – cos t1)]
Mit bekannten (?) goniometrischen Formeln wird daraus:
m1*m2 =
(b^2/a^2)*2 sin(½(t+t1)) cos(½(t-t1)*2 cos(½(t+t1) sin(½(t-t1) /
[2 cos(½(t+t1)) cos(½(t-t1)*(-2) sin(½(t+t1) sin(½(t-t1)] =
- b^2/a^2 , wie es sein muss.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4164
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 16:18: |
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Hi allerseits
Es gibt für diesen Satz aus der affinen Geometrie der Ellipse
einen direkten geometrischen Beweis.
Das geht so.
Jede Ellipse c kann als affines Bild eines Kreises c´ aufgefasst werden.
Verbindet man nun im Kreissystem einen beliebigen Punkt Q´ auf der
Kreislinie mit den Endpunkten eines beliebigen Kreisdurchmessers P1´P2´,
so stehen die Sehnen Q´P1´ und Q´P2´nach Thales aufeinander senkrecht.
Das wirkt sich bei der affinen Abbildung dadurch aus, dass die Ellipsensehnen
Q P1, QP2 konjugierte Richtungen haben.
MfG
H.R.Moser,megamath
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