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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4165 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 16:24: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 416. Gegeben ist der laufende Punkt P(u /v) auf der Ellipse b^2 * x ^2 + a^2 * y ^2 = a^2 * b^2. Man stelle die Längen L1 und L2 des durch diesen Punkt gehenden Halbmessers a´ und seines konjugierten Halbmessers b´ je als Funktion in der Variablen u dar. Man richte es so, dass in L1= L1 (u) und L2 = L2 (u) die numerische Exzentrizitaet epsilon der Ellipse erscheint. MfG H.R,.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1429 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 22:19: |
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Hi megamath, sei P ( u / v ) Dann gilt : x = u , y = b/a * sqrt(a^2 - u^2) Dann gilt: a' = |OP| = sqrt([(a^2 - b^2)*u^2 + a^2*b^2])/a Und dank a^2-b^2 = epsilon = e a' = L1(u) = 1/a * sqrt( e^2*u^2 + a^2*b^2 ) Nun gilt aber: a^2 + b^2 = a'^2 + b'^2 und b'^2 = L2(u)^2 Daher: L2(u) = 1/a * sqrt( a^4 - e^2*u^2 ) Kontrolle: L1(u)^2 + L2(u)^2 = a^2 + b^2 Voila... mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1430 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 22:33: |
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Hi, ich habe gleich auch mal ein numerisches Beispiel getestet: E: x^2/9 + y^2/4 = 1 P ( (3/2) / sqrt(3) ) Dann gilt: e^2 = 5 , u = (3/2) L1((3/2)) = sqrt(21)/2 Bildet man |OP| = sqrt( 2,25 + 3 ) = sqrt(21)/2 Der zu OP konjugierte Halbmesser OQ hat dann die Länge: L2((3/2)) = sqrt(31)/2 Q ergibt sich rechnerisch als ( (3/2)*sqrt(3) | -1 ), also |OQ| = sqrt( 27/4 + 1 ) = sqrt(31)/2! a^2 + b^2 = OP^2 +OQ^2 13 = 21/4 + 31/4 = 13! Alles hat seine Richtigkeit! mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4166 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 08:54: |
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Hi Ferdi Deine Berechnungen sind alle richtig! Es hat sich ein kleines Missverstaendnis eingeschlichen. Ich hatte die numerische Exzentrizitaet epsilon im Visier, nicht die lineare Exzentrizitaet. Bekanntlich gilt epsilon = e / a und die Relationen lauten dann: L1(u) = sqrt [b^2 + (eps * u)^2] L2(u) = sqrt [a^2 - (eps * u)^2] MfG H.R.Moser,megamath
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