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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3978
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Mai, 2004 - 18:55: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe 356 (F 38) lautet:
Gegeben ist die Funktionenschar
v(n,x) = n x e^(- n x^2) , n = 1,2,3,…(0<=x<=1)
Man berechne das Integral
V(n) = int [v(n,x) dx]
untere Grenze 0, obere Grenze 1,
sowie den
Grenzwert G = lim V(n) für n ad infinitum.
Kann G auch mit Hilfe der Grenzfunktion
g(x), die man aus der Funktionenschar v(n,x)
durch Grenzübergang n gegen unendlich erhält,
gewonnen werden? Begründung?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1335
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Mai, 2004 - 21:54: |
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Hi megamath
a)
V(n) = int[ nx * e^(-nx^2) dx] [0..1]
nx^2 = t ==> dx = dt / 2nx
[0..1] ==> [0..n]
V(n) = (1/2)*int[e^(-t) dt] [0..n]
V(n) = (1/2) * ( 1 - e^(-n) )
G = lim n->inf (1/2) * ( 1 - e^(-n) )
Da e^(-n) -> 0 für n->inf
G = (1/2)
Aber g(x) = lim n->inf v(n,x) ==> 0
Also g(x) unglich G!
Die Begründung muss jemand anders liefern, oder geht es auch um die Folge v(n,x)??
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3979
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Mai, 2004 - 07:18: |
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Hi Ferdi
Deine Berechnungen sind ok,danke!
G = ½;
die Grenzfunktion g(x) der Funktionenschar ist über dem
ganzen Intervall [0,1] null, daher auch das Integral über g(x)
in diesem Intervall.
Es liegt ein ganz anderer Sachverhalt vor als bei der
vorhergehenden Aufgabe LF 355 (siehe die Lösung von Orion).
Die gegebene Schar ist im Intervall [0,1] NICHT
gleichmäßig konvergent.
Jedenfalls dürfen im Fall der gleichmäßigen Konvergenz
die Vorgänge vertauscht werden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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