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Beweis

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Sadi (Sadi)
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Junior Mitglied
Benutzername: Sadi

Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Mai, 2004 - 18:43:   Beitrag drucken

Beweisen Sie für natürliche Zahlen n > 0

13/24...2n-1/2n < 1/sqr(2n+1)

wie kan ich das beweisen ?
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 863
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Mai, 2004 - 22:42:   Beitrag drucken

Sorry Sadi, aber dazu müssen wir schon die korrekte Aufgabe kennen.
Links steht ne Aufzählung von Brüchen, deren Zusammenhang zumindest mir nicht gerade uns Auge sticht. (13/24 = (2*7-1)/(2*12) aber nicht (2n-1)/(2n) )
Und rechts hast Du einen Term. Was ist denn zu zeigen? Das die Terme links alle kleiner sind? Dass die Summe/das Produkt der linken kleiner ist?

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Sadi (Sadi)
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Junior Mitglied
Benutzername: Sadi

Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Montag, den 03. Mai, 2004 - 12:51:   Beitrag drucken

Also so ist die Fragestellung aufgabe
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1371
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 03. Mai, 2004 - 13:39:   Beitrag drucken

Hallo Sadi

Jetzt ist die Aufgabe verständlich ;)
Man konnte ja nicht erahnen, dass 1/2*3/4 gemeint ist mit 13/24.

Ich würde einen Induktionsbeweis vorschlagen. Fall n=1 ergibt 1/2<1/sqrt(3).
Das stimmt offenbar.

Für den Induktionsschluss gleich brauchen wir noch folgendes:
(2n+1)/(2n+2)²<1/(2n+3)
<=> (2n+1)(2n+3)<(2n+2)²
<=> 4n²+8n+3<4n²+8n+4

Also haben wir
(*) (2n+1)/(2n+2)²<1/(2n+3) für alle n>0.

Jetzt der Induktionsschluss: n->n+1
1/2*3/4*...*(2n-1)/(2n)*(2n+1)/(2n+2)
<1/sqrt(2n+1)*(2n+1)/(2n+2) [Nach Voraussetzung]
=sqrt((2n+1)/(2n+2)²)
<sqrt(1/(2n+3))=1/sqrt(2n+3) [mit (*)]

q.e.d.

MfG
C. Schmidt

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