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Sadi (Sadi)
Junior Mitglied Benutzername: Sadi
Nummer des Beitrags: 19 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Mai, 2004 - 18:43: |
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Beweisen Sie für natürliche Zahlen n > 0 13/24...2n-1/2n < 1/sqr(2n+1) wie kan ich das beweisen ? |
Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 863 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Mai, 2004 - 22:42: |
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Sorry Sadi, aber dazu müssen wir schon die korrekte Aufgabe kennen. Links steht ne Aufzählung von Brüchen, deren Zusammenhang zumindest mir nicht gerade uns Auge sticht. (13/24 = (2*7-1)/(2*12) aber nicht (2n-1)/(2n) ) Und rechts hast Du einen Term. Was ist denn zu zeigen? Das die Terme links alle kleiner sind? Dass die Summe/das Produkt der linken kleiner ist?
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Sadi (Sadi)
Junior Mitglied Benutzername: Sadi
Nummer des Beitrags: 20 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Mai, 2004 - 12:51: |
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Also so ist die Fragestellung |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1371 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Mai, 2004 - 13:39: |
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Hallo Sadi Jetzt ist die Aufgabe verständlich ;) Man konnte ja nicht erahnen, dass 1/2*3/4 gemeint ist mit 13/24. Ich würde einen Induktionsbeweis vorschlagen. Fall n=1 ergibt 1/2<1/sqrt(3). Das stimmt offenbar. Für den Induktionsschluss gleich brauchen wir noch folgendes: (2n+1)/(2n+2)²<1/(2n+3) <=> (2n+1)(2n+3)<(2n+2)² <=> 4n²+8n+3<4n²+8n+4 Also haben wir (*) (2n+1)/(2n+2)²<1/(2n+3) für alle n>0. Jetzt der Induktionsschluss: n->n+1 1/2*3/4*...*(2n-1)/(2n)*(2n+1)/(2n+2) <1/sqrt(2n+1)*(2n+1)/(2n+2) [Nach Voraussetzung] =sqrt((2n+1)/(2n+2)²) <sqrt(1/(2n+3))=1/sqrt(2n+3) [mit (*)] q.e.d. MfG C. Schmidt
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