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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3926
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 13:38: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 336 als Aufgabe F 20
Man berechne das bestimmte Integral
E* = int [ (1+x) ^ (2m-1) * (1-x) ^ (2n-1) dx / (1+x^2)^(m+n)
untere Grenze x = -1, obere Grenze x =1;
m und n sind beide positiv.
E* ist durch Werte der Gammafunktion G(m), G(n),
G(m+n)….auszudrücken.
Kontrolle
Setze m = n = ¼ und berechne das entsprechende Integral
als elliptisches Integral E.
.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3927
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 13:47: |
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Hi allerseit
Weitere M-Übungen meinerseits fallen heute aus,
da ich als Hauptdarsteller an einer Geburtstagsfeier
teilnehme.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1307
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 23:55: |
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Hi megamath
Es traut sich wohl niemand an dieses Integral heran:
Hier mein Versuch:
Es gilt:
E* = 2^(m+n-2) * {G(m) * G(n) / G(m+n)}
Damit für m = n = 1/4
E* = 2^(-1,5) * G(1/4)^2 / G(1/2)
E* = 1/2 * G(1/4)^2 * / sqrt(2*pi)
Es ist exakt :
E* / 2 = int[ 1/ sqrt(1-x^4) dx] [0..1]
etwas bekanntes!!
Herleitung der Ergebnisse folgen morgen, bei Gelegenheit!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3928
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 09:13: |
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Hi Ferdi
Meine Gratulation!
Alle Deine Resultate sind richtig, insbesondere auch
die Darstellung von E* durch Werte der Gammafunktion und
die Zweierpotenz als Faktor.
Der numerische Wert des elliptischen Integrals ist
E ~ 2,622057555.
Ich komme darauf zurück.
Für eine ausführliche Herleitung sind wir geneigten Leser
sehr dankbar.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1308
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 11:45: |
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Hi,
hier die Versprochene Herleitung!
Man riecht, das man das Integral auf das Eulersche Integral erster Gattung zurückführen kann!
Zunächst formen wir den Integranden um:
(1+x)^(2m-1)*(1-x)^(2n-1) / (1+x^2)^(m+n)
((1+x)^2/(1+x^2))^m * ((1-x)^2/(1+x^2))^n * 1/(1-x^2)
Substituieren wir nun:
(1+x)^2/(1+x^2) = s
sehen wir das die obere Grenze 2 wird, die untere 0! Also formen wir ein wenig um:
(1+x)^2/(1+x^2) = 2s
x = 1 ==> s = 1 ; x = -1 ==> s = 0
dx = (1+x^2)^2 / (1-x^2) ds
Und wie man leicht nachrechnet:
(1-x)^2/(1+x^2) = 2 - 2s
Wir haben also:
(2s)^m * (2-2s)^n * (1+x^2)^2 / (1-x^2)^2 ds
(1+x^2)^2 / (1-x^2)^2 ist aber gerade:
1/2s * 1/(2-2s)
Insgesamt:
int[ (2s)^(m-1) * (2-2s)^(n-1) ds] [0..1]
2^(m+n-2) * int[ s^(m-1) * (1-s)^(n-1) ds] [0..1]
2^(m+n-2) * B( m ; n)
2^(m+n-2) * { G(m)*G(n) / G(m+n) }
E* = 2^(m+n-2) * { G(m)*G(n) / G(m+n) }
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3929
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 11:57: |
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Hi Ferdi
Das ist von Dir sehr schön gemacht!
Danke.
Man erlebt,was man mit einer
passenden Substitution alles
erreicht !
Manchmal heisst es : corriger la fortune
(dem Glück nachhelfen)!
Bald wird Aehnliches mit einem andern Integral geschehen.
MfG
H.R.Moser,megamath
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