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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3926 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 13:38: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 336 als Aufgabe F 20 Man berechne das bestimmte Integral E* = int [ (1+x) ^ (2m-1) * (1-x) ^ (2n-1) dx / (1+x^2)^(m+n) untere Grenze x = -1, obere Grenze x =1; m und n sind beide positiv. E* ist durch Werte der Gammafunktion G(m), G(n), G(m+n)….auszudrücken. Kontrolle Setze m = n = ¼ und berechne das entsprechende Integral als elliptisches Integral E. . Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3927 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 13:47: |
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Hi allerseit Weitere M-Übungen meinerseits fallen heute aus, da ich als Hauptdarsteller an einer Geburtstagsfeier teilnehme. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1307 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 23:55: |
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Hi megamath Es traut sich wohl niemand an dieses Integral heran: Hier mein Versuch: Es gilt: E* = 2^(m+n-2) * {G(m) * G(n) / G(m+n)} Damit für m = n = 1/4 E* = 2^(-1,5) * G(1/4)^2 / G(1/2) E* = 1/2 * G(1/4)^2 * / sqrt(2*pi) Es ist exakt : E* / 2 = int[ 1/ sqrt(1-x^4) dx] [0..1] etwas bekanntes!! Herleitung der Ergebnisse folgen morgen, bei Gelegenheit! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3928 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 09:13: |
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Hi Ferdi Meine Gratulation! Alle Deine Resultate sind richtig, insbesondere auch die Darstellung von E* durch Werte der Gammafunktion und die Zweierpotenz als Faktor. Der numerische Wert des elliptischen Integrals ist E ~ 2,622057555. Ich komme darauf zurück. Für eine ausführliche Herleitung sind wir geneigten Leser sehr dankbar. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1308 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 11:45: |
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Hi, hier die Versprochene Herleitung! Man riecht, das man das Integral auf das Eulersche Integral erster Gattung zurückführen kann! Zunächst formen wir den Integranden um: (1+x)^(2m-1)*(1-x)^(2n-1) / (1+x^2)^(m+n) ((1+x)^2/(1+x^2))^m * ((1-x)^2/(1+x^2))^n * 1/(1-x^2) Substituieren wir nun: (1+x)^2/(1+x^2) = s sehen wir das die obere Grenze 2 wird, die untere 0! Also formen wir ein wenig um: (1+x)^2/(1+x^2) = 2s x = 1 ==> s = 1 ; x = -1 ==> s = 0 dx = (1+x^2)^2 / (1-x^2) ds Und wie man leicht nachrechnet: (1-x)^2/(1+x^2) = 2 - 2s Wir haben also: (2s)^m * (2-2s)^n * (1+x^2)^2 / (1-x^2)^2 ds (1+x^2)^2 / (1-x^2)^2 ist aber gerade: 1/2s * 1/(2-2s) Insgesamt: int[ (2s)^(m-1) * (2-2s)^(n-1) ds] [0..1] 2^(m+n-2) * int[ s^(m-1) * (1-s)^(n-1) ds] [0..1] 2^(m+n-2) * B( m ; n) 2^(m+n-2) * { G(m)*G(n) / G(m+n) } E* = 2^(m+n-2) * { G(m)*G(n) / G(m+n) } mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3929 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 11:57: |
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Hi Ferdi Das ist von Dir sehr schön gemacht! Danke. Man erlebt,was man mit einer passenden Substitution alles erreicht ! Manchmal heisst es : corriger la fortune (dem Glück nachhelfen)! Bald wird Aehnliches mit einem andern Integral geschehen. MfG H.R.Moser,megamath
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