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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3847
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 13:34: | 
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Hi allerseits
Es folgt eine weitere O-Aufgabe, die Aufgabe
LF 313 als Aufgabe O11.
Sie ist auch nicht schwierig und lautet:
Man berechne
a)
Sissi (x) = int [(sin(x)^2 / x^2 dx], untere Grenze 0,obere Grenze x
b)
S* = int [(sin(x)^2 / x^2 dx]
untere Grenze x = null, obere Grenze x = unendlich.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1271
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 15:45: |
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Hi megamath,
hier kann man auch auf die letzten Aufgaben zurückgreifen und zwar durch die Formel:
cos(2x) = 1 - 2*sin(x)^2
sin(x)^2 = (1 - cos(2x))/2
a)
int[sin(x)^2/x^2 dx]
(1/2)int[(1-cos(2x))/x^2 dx]
Substitution 2x = t ==> dx = dt/2
int[(1 - cos(t))/t^2 dt]
Partielle Integration liefert in den Grenzen 0 bis x:
int[..] = {(cos(x)-1)/x} + int[sin(t)/t dt]
Lassen wir darin x gegen unendlich laufen, so erhalten wir sofort b)
{(cos(x)-1)/x} --> 0 für x-->inf
int[sin(t)/t dt] --> pi/2 für x-->inf
==> S* = pi/2
Ein verblüffendes Ergebniss!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3848
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. April, 2004 - 16:16: |
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Hi Ferdi
Das Resultat zu b) ist tatsächlich interessant!
Hier spielt immerhin ein Parameter r,
analog zu LF 312, eine Rolle.
Man bekommt nämlich:
S** = int [(sin(r x)^2 / x^2 dx] = ½ r Pi
Besten Dank für Deinen Beitrag.
Ich komme auf Détails zurück,
auch bezüglich der Aufgabe LF 312
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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