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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3850 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. April, 2004 - 10:21: |
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Hi allerseits Es geht gleich weiter mit der Aufgabe LF 314. Diese und einige der folgenden Aufgaben sind Bestandteil einer Serie von Integralen, die zur Bewältigung etwas höhere Ansprüche stellen und gleichwohl zum Standard gehören sollten. Dieses kleine Festival dauert bis zum 22.April 04. Die Aufgaben tragen die Bezeichnung Fn Aufgabe F1. Man berechne für natürliche Zahlen n das bestimmte Integral J(n) = int [ x * ( ln x ) ^ n dx ], untere Grenze 0 , obere Grenze 1. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1273 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. April, 2004 - 11:43: |
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Hi megamath, das Ergebniss vorweg: J(n) = (-1)^n * (1/2)^(n+1) * n! Beweis: int[ x * ln(x)^n dx] Substitution: x = e^t ==> dx = e^t dt 0 => -inf ; 1 => 0 int[e^(2t) * t^n dt] von -inf bis 0 Nun substituieren wir: 2t = -u ==> dt = -du/2 (1/2)int[e^(-u)*(-u/2)^n du] von 0 bis inf daraus: (-1)^n * (1/2)^(n+1) * int[e^(-u)*u^n du] von 0 bis inf das letztere Integral ist aber gerade Gamma(n+1)!! Und dies hat bekanntlich()den Wert n!. Ergo: J(n) = (-1)^n * (1/2)^(n+1) * n! z.B.: J(1) = -(1/4) , J(3) = -(3/8), J(6) = 45/8 Man könnte auch eine Rekursionsformel entwickeln, diese lautet: J(n) = -(1/2) * n * J(n-1) mit J(1) = -(1/2) * J(0) = -(1/4) kommt man schlussendlich auf die selben Ergebnisse! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3851 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. April, 2004 - 12:28: |
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Hi Ferdi Resultat und Herleitung sind beide richtig. Bravo und besten Dank! MfG H.R.Moser,megamaht |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3852 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. April, 2004 - 14:25: |
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Hi allerseits Eine Verallgemeinerung dieses Integrals lautet: M (m,n) = int [x^m (ln x)^n dx] ;m>-1,n=0,1,2….. Ergebnis: M(m,n) =(-1)^n * n! / (m+1)^(n+1). Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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